Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A (A khác B và C) cắt hai tiếp tuyến Bx và Cy lần lượt tại D và E. Gọi I là giao điểm của AB và OD, J là giao điểm của OE và AC.
a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi A di chuyển trên đường tròn thì G di chuyển trên đường cố định nào? Vì sao?
b)Tìm vị trí của A để
i. Chu vi tam giác ABC là lớn nhất
ii. Diện tích tam giác ABC là lớn nhất
iii. diện tích tứ giác OIAJ là lớn nhất.
iv. diện tích tứ giác BDEC là nhỏ nhất
a) Ta có: $G$ là trọng tâm $ΔABC$ $(gt)$
$\Rightarrow OG = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}R$
$\Rightarrow$ Khi $A$ đi chuyển, $G$ di chuyển trên $\left(O;\dfrac{1}{3}R\right)$
b) Ta có: $AB + AC = \sqrt{(AB + AC)^2} \leq \sqrt{2(AB^2 + AC^2)} = BC\sqrt{2}$
$\Rightarrow P_{ABC} = AB + AC + BC \leq BC\sqrt{2} + BC = BC(1 + \sqrt{2}) = 2R(1 + \sqrt{2})$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AB = AC \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn
ii) Từ $A$ kẻ đường cao $AH$ $(H \in BC)$
Ta có: $AH \leq AO$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC \leq \dfrac{1}{2}AO.BC = \dfrac{1}{2}R^3$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow AH = AO = R \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn
iii) Ta có: $S_{OIAJ} = AI.AJ = \dfrac{AB}{2}.{AC}{2} = \dfrac{S_{ABC}}{2}$
$S_{OIAJ}$ lớn nhất $\Leftrightarrow S_{ABC}$ lớn nhất
$\Leftrightarrow maxS_{OIAJ} = \dfrac{1}{2}R^3 \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn (Theo câu ii)
iv) Gọi $M$ là trung điểm $DE$
Ta có: $BCED$ là hình thang vuông tại $B, C$
$OB = OC = R$
$MD = ME$ (cách dựng)
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình
$\Rightarrow OM//BD//CE; \, OM\perp BC$
$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}(BD + CE)$
$\Rightarrow S_{BDEC} = \dfrac{1}{2}(BD + CE).BC = OM.BC$
$\Rightarrow S_{BDEC}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM$ nhỏ nhất
Ta có: $OM \geq OA$
$\Rightarrow OM_{min} = OA = R$
$\Rightarrow OA\perp BC$
$\Rightarrow minS_{BDEC} = OA.BC = R^3 \Leftrightarrow A$ là điểm chính giữa nửa đường tròn