Bài 5: Cho đa thức f(x) =ax^3+2bx^2+3cx+4d với các hệ số a, b, c, d là các số nguyên.
Chứng minh rằng không thể đồng thời tồn tại f(7)=72 ;f(3)=58.
Bài 5: Cho đa thức f(x) =ax^3+2bx^2+3cx+4d với các hệ số a, b, c, d là các số nguyên. Chứng minh rằng không thể đồng thời tồn tại f(7)=72 ;f(3)=58.
By Quinn
Sửa : `f(7)=73` ; vì `f(7)=72` sẽ `\vdots 2`
Giả sử tồn tại đồng thời `f(7)=73` và `f(3)=58` . Thì :
$\begin{cases}f(7)=a.7³+b.7²+c.7+d=343a+49b+7c+d\\f(3)=a.3³+b.3²+c.3+d=27a+9b+3c+d\end{cases}$
`=>f(7)+f(3)=343a+49b+7c+d+27a+9b+3c+d`
`=>f(7)+f(3)=30a+58b+10c+2d \vdots 2(a;b;c∈Z)`
`=>f(7)+f(3) \vdots 2 `
Theo giả thiết : `f(7)+f(3)=73+58=131` $\not\vdots$ `2`
`=>` Đa thức không thể tồn tại `f(7)=72;f(3)=58`
Theo đề bài ra ta có:
$f(x)=ax^3+2bx^2+3cx+4d$
$f(7)=a7^3+2b7^2+3c7+4d=343a+98b+21c+4d$
$f(3)=a3^3+2b3^2+3c^3+4d=27a+18b+9c+4d$
Giả thiết có $f(7)=73;f(3)=58$
f(7)+f(3)=(343a+98b+21c+4d)+(27a+18b+9c+4d)$
$= 343a+98b+21c+4d+27a+18b+9c+4d$
$= (343a+27a)+(98b+18b)+(21c+9c)+(4d+4d)$
$= (370a+116b+30c+8d)$ $\vdots$ $2$
Mà $73+58=131$ $\not\vdots$ $2$( vô lý)
Vậy Không thể đồng thời tồn tại $ f(7)=73;f(3)=58$ với $f(x)=ax^3+2bx^2+3cx+4d.
Xin hay nhất