Bài 5: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện xy+2(yz+zx)=5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= 3 (x^2+y^2) +4z^2
Bài 5: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện xy+2(yz+zx)=5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= 3 (x^2+y^2) +4z^2
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\[3(x^2+y^2)+4z^2\\=2x^2+2z^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2\\=2x^2-4xz+2z^2+2y^2-4yz+2z^2+x^2-2xy+y^2+4zx+4yz+2xy\\=2(x-z)^2+2(y-z)^2+(x-y)^2+2(xy+2yz+2zx)\\=2(x-z)^2+2(y-z)^2+(x-y)^2+10 \geq 10\\\text{Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1}\]
$S = 3.(x^2+y^2) + 4z^2$
$ = 2.(x^2+z^2)+ 2.(y^2+z^2) + (x^2+y^2)$
$≥ 2.2xz + 2.2yz + 2xy$
$ = 2.[(2yz+zx) + xy]=2.5= 10$
Dấu “=” xảy ra khi $x=y=z=1$