Bất phương trình $\sqrt{x^2+x-2}.(x^2-2mx+m^2-1)<0$ có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc ? 14/08/2021 Bởi Kaylee Bất phương trình $\sqrt{x^2+x-2}.(x^2-2mx+m^2-1)<0$ có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc ?
Đáp án: `m\in (-∞; -1)∪(0;+∞)` Giải thích các bước giải: `\qquad \sqrt{x^2+x-2} (x^2-2mx+m^2-1)<0` (*) `ĐK: x^2+x-2>0⇔`$\left[\begin{array}{l}x> 1\\x< -2\end{array}\right.$ (Không xét trường hợp `x^2+x-2=0` vì không thỏa `BPT`) (*)`<=>x^2-2mx+m^2-1<0` `<=>x^2-(m+1)x-(m-1)x+(m-1)(m+1)<0` `<=>x(x-m-1)-(m-1)(x-m-1)<0` `<=>(x-m-1)(x-m+1)<0` `<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x-m-1>0\\x-m+1<0\end{cases}\\\begin{cases}x-m-1<0\\x-m+1>0\end{cases}\end{array}\right.$ `<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x>m+1\\x<m-1\end{cases}\ (vô\ lý)\\\begin{cases}x<m+1\\x>m-1\end{cases}\end{array}\right.$`=>m-1<x<m+1` Kết hợp điều kiện $\left[\begin{array}{l}x> 1\\x< -2\end{array}\right.$ `=>` Để bất phương trình có nghiệm: `=>`$\left[\begin{array}{l}m+1> 1\\m-1<-2\end{array}\right.$`<=>`$\left[\begin{array}{l}m> 0\\m<-1\end{array}\right.$ Bình luận
Đáp án:
`m\in (-∞; -1)∪(0;+∞)`
Giải thích các bước giải:
`\qquad \sqrt{x^2+x-2} (x^2-2mx+m^2-1)<0` (*)
`ĐK: x^2+x-2>0⇔`$\left[\begin{array}{l}x> 1\\x< -2\end{array}\right.$
(Không xét trường hợp `x^2+x-2=0` vì không thỏa `BPT`)
(*)`<=>x^2-2mx+m^2-1<0`
`<=>x^2-(m+1)x-(m-1)x+(m-1)(m+1)<0`
`<=>x(x-m-1)-(m-1)(x-m-1)<0`
`<=>(x-m-1)(x-m+1)<0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x-m-1>0\\x-m+1<0\end{cases}\\\begin{cases}x-m-1<0\\x-m+1>0\end{cases}\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x>m+1\\x<m-1\end{cases}\ (vô\ lý)\\\begin{cases}x<m+1\\x>m-1\end{cases}\end{array}\right.$`=>m-1<x<m+1`
Kết hợp điều kiện $\left[\begin{array}{l}x> 1\\x< -2\end{array}\right.$
`=>` Để bất phương trình có nghiệm:
`=>`$\left[\begin{array}{l}m+1> 1\\m-1<-2\end{array}\right.$`<=>`$\left[\begin{array}{l}m> 0\\m<-1\end{array}\right.$