Biết hệ số x bình phương trong khai triển biểu thức (1+4x)mũ n là 3040 .tìm số hạng thứ 7

Đáp án:

\[C_{20}^7{.4^7}.{x^7}\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\({\left( {1 + 4x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n – k}}.{{\left( {4x} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.4}^k}.{x^k}} \)

Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển bằng 3040 nên:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 + 4x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n – k}}.{{\left( {4x} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.4}^k}.{x^k}} \\
C_n^2{.4^2} = 3040 \Leftrightarrow C_n^2 = 190 \Rightarrow n = 20
\end{array}\)

Số hạng thứ 7 của khai triển là số hạng có k=7. Do đó, số hạng thứ 7 của khai triển là:

\[C_{20}^7{.1^{13}}.{\left( {4x} \right)^7} = C_{20}^7{.4^7}.{x^7}\]