Biết rằng $x^{2}$ +$y^{2}$=52 Tìm GTNN và GTLN của P=2x+3y

0 bình luận về “Biết rằng $x^{2}$ +$y^{2}$=52 Tìm GTNN và GTLN của P=2x+3y”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có bất đẳng thức sau:

   \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\)

   Dấu ‘=’  xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)

   Chứng minh:

   \(\begin{array}{l}
   \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – {\left( {ax + by} \right)^2}\\
    = \left( {{a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2}} \right) – \left( {{a^2}{x^2} + 2.ax.by + {b^2}{y^2}} \right)\\
    = {b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} – 2abxy\\
    = {a^2}{y^2} – 2.ay.bx + {b^2}{x^2}\\
    = {\left( {ay – bx} \right)^2} \ge 0
   \end{array}\)

   Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{2^2} + {3^2}} \right) \ge {\left( {x.2 + y.3} \right)^2}\\
    \Leftrightarrow 52.13 \ge {\left( {2x + 3y} \right)^2}\\
    \Leftrightarrow {\left( {2x + 3y} \right)^2} \le 676\\
    \Leftrightarrow {\left( {2x + 3y} \right)^2} \le {26^2}\\
    \Leftrightarrow  – 26 \le 2x + 3y \le 26\\
    \Rightarrow {P_{\min }} =  – 26;\,\,\,\,\,{P_{\max }} = 26
   \end{array}\)

   Bình luận