Biết rằng $x^{2}$ +$y^{2}$=52 Tìm GTNN và GTLN của P=2x+3y

Giải thích các bước giải:

 Ta có bất đẳng thức sau:

\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\)

Dấu ‘=’  xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)

Chứng minh:

\(\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – {\left( {ax + by} \right)^2}\\
 = \left( {{a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2}} \right) – \left( {{a^2}{x^2} + 2.ax.by + {b^2}{y^2}} \right)\\
 = {b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} – 2abxy\\
 = {a^2}{y^2} – 2.ay.bx + {b^2}{x^2}\\
 = {\left( {ay – bx} \right)^2} \ge 0
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{2^2} + {3^2}} \right) \ge {\left( {x.2 + y.3} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow 52.13 \ge {\left( {2x + 3y} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {2x + 3y} \right)^2} \le 676\\
 \Leftrightarrow {\left( {2x + 3y} \right)^2} \le {26^2}\\
 \Leftrightarrow  – 26 \le 2x + 3y \le 26\\
 \Rightarrow {P_{\min }} =  – 26;\,\,\,\,\,{P_{\max }} = 26
\end{array}\)