Biết rằng tồn tại giá trị tham số m để phương trình x^2 – 2(m+1)x +m^2 -3 =0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức S = x1.x2+x1+x2 có giá trị nhỏ nhất . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là ?
Biết rằng tồn tại giá trị tham số m để phương trình x^2 – 2(m+1)x +m^2 -3 =0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho biểu thức S = x1.x2+x1+x2 có giá trị nhỏ nhất . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là ?
Đáp án:
`S_{min}=-2` khi `m=-1`
Giải thích các bước giải:
`x^2-2(m+1)x+m^2-3=0`
`∆’=b’^2-ac=[-(m+1)]^2-1.(m^2-3)`
`∆’=m^2+2m+1-m^2+3=2m+4`
Để phương trình có hai nghiệm `x_1;x_2`
`<=>∆’\ge 0`
`<=>2m+4\ge 0`
`<=>m\ge -2`
Với `m\ge -2` theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m+1)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3\end{cases}$
Ta có:
`\qquad S=x_1x_2+x_1+x_2`
`=m^2-3+2(m+1)=m^2+2m-1`
`=(m^2 +2m+1)-2=(m+1)^2-2`
Với mọi `m\ge -2` ta có:
`\qquad (m+1)^2\ge 0`
`=>S=(m+1)^2-2\ge -2`
Dấu “=” xảy ra khi `(m+1)^2=0<=>m=-1\ (thỏa\ đk)`
Vậy $GTNN$ của $S$ bằng $-2$ khi `m=-1`
Đáp án:Xem ảnh