c/tỏ rằng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau nhỏ hơn 1/4 1/5, 1/45, 1/117, 1/221, 1/357,…

Giải thích các bước giải:

Ta thấy:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{1.5}$

$\frac{1}{45}$ = $\frac{1}{5.9}$

$\frac{1}{117}$ = $\frac{1}{9.13}$ 

…

⇒ Số hạng thứ 100 của dãy là: $\frac{1}{397.401}$   

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

S = $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{45}$ + $\frac{1}{117}$ + … + $\frac{1}{397.401}$   

   = $\frac{1}{1.5}$ + $\frac{1}{5.9}$ + $\frac{1}{9.13}$ + … + $\frac{1}{397.401}$   

   = $\frac{1}{4}$.($\frac{4}{1.5}$ + $\frac{4}{5.9}$ + $\frac{4}{9.13}$ + … + $\frac{4}{397.401}$)

   = $\frac{1}{4}$.(1 – $\frac{1}{5}$ + $\frac{1}{5}$ – $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ – $\frac{1}{13}$ + … + $\frac{1}{397}$ – $\frac{1}{401}$)

   = $\frac{1}{4}$.(1 – $\frac{1}{401}$)

   = $\frac{1}{4}$ – $\frac{1}{4.401}$ < $\frac{1}{4}$ (đpcm)