( Các bạn giải hộ mình câu e,f với, các câu trên mình đã làm rồi )
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC ( E thuộc AB, F thuộc AC ). Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) BC ² = 3AH ² + BE ² + CF ² ( đã c/minh )
b) HE.HF = BE.CF ( đã c/minh )
c) AH ³ = BE.CF.BC ( đã c/minh )
d) AB ³/ AC ³ = BE/CF ( đã c/minh )
e) C/minh: AM vuông góc EF tại I và $\frac{1}{HB}$ + $\frac{1}{HC}$ = $\frac{1}{AI}$
f) Giả sử: $\frac{AH}{AM}$ = $\frac{40}{41}$. Tính $\frac{AB}{AC}$
Ta có: $AM = MB = MC = \dfrac{BC}{2}$
$\Rightarrow ∆MAB$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}$
Ta lại có: $\widehat{FEA} = \widehat{HAE}$ ($AEHF$ là hình chữ nhật)
mà $\widehat{HAE} = \widehat{BCA}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)
nên $\widehat{FEA} = \widehat{BCA}$
Do đó $\widehat{MAE} +\widehat{FEA} = \widehat{MBA} + \widehat{BCA} = 90^o$
$\Rightarrow AM\perp EF$
Xét $∆AIE$ và $∆BAC$ có:
$\widehat{I} = \widehat{A} = 90^o$
$\widehat{FEA} = \widehat{BCA} \, (cmt)$
Do đó $∆AIE\sim ∆BAC \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AE}{BC}$
$\Rightarrow AI = \dfrac{AE.AB}{BC}$
$\Rightarrow AI = \dfrac{AH^2}{BH + CH}$
$\Rightarrow AI = \dfrac{BH.CH}{BH + CH}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AI} = \dfrac{BH + CH}{BH.CH}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AI} = \dfrac{1}{BH} + \dfrac{1}{CH}$