các số thực a,b,c,d. Cmr:12a^2+b^2+c^2+d^2>=4(ab+cd+ad)

0 bình luận về “các số thực a,b,c,d. Cmr:12a^2+b^2+c^2+d^2>=4(ab+cd+ad)”

1. Đáp án:

   Ta có:

   $12a^2+b^2+c^2+d^2≥4(ab+ac+ad)$

   $⇔12a^2+b^2+c^2+d^2-4(ab+ac+ad)≥0$

   $⇔12a^2+b^2+c^2+d^2-4ab-4ac-4ad≥0$

   $⇔(4a^2-4ab+b^2)+(4a^2-4ac+c^2)+(4a^2-4ad+d^2)≥0$

   $⇔(2a-b)^2+(2a-c)^2+(2a-d)^2≥0$ (luôn đúng)

   Vậy bài toán được chứng minh

   (Mình có thay đổi đề 1 chút)

    

   Bình luận

2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số $4a^2;b^2$ không âm ta được:

   $4a^2+b^2≥2.2a.b=4ab$

   Tương tự như trên ta có:

   $4a^2+c^2≥2.2.a.c=4ac$

   $4a^2+d^2≥2.2.a.d=4ad$

   $⇒4a^2+b^2+4a^2+c^2+4a^2+d^2≥4ab+4ac+4ad=4(ab+ac+ad)$

   Hay $12a^2+b^2+c^2+d^2≥4(ab+ac+ad)$

   Dấu $=$ xảy ra $⇔2a=b;2a=c;2a=d⇔2a=b=c=d$

    

   Bình luận