Các tham số m để phương trình 2 sin bình phương x + msin2x = 2m vô nghiệm là gì ạ

0 bình luận về “Các tham số m để phương trình 2 sin bình phương x + msin2x = 2m vô nghiệm là gì ạ”

1. Áp dụng cthuc hạ bậc ta có

   $1 – \cos(2x) + m\sin(2x) = 2m$

   $<-> \cos(2x) – m\sin(2x) = 1 – 2m$

   $<-> \dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}} \cos(2x) – \dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}} \sin(2x) = \dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}}$

   Đặt $\sin a = \dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}, \cos a = \dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}$. KHi đó, ptrinh trở thành

   $\cos(2x) \sin a – \sin(2x) \cos a= \dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}}$

   $<-> \sin(a – 2x) = \dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}}$

   Do $\sin(a – 2x) \in [-1,1]$ nên để ptrinh vô nghiệm thì $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} \notin [-1,1]$ hay

   $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} > 1$ hoặc $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} < -1$

   TH1: $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} > 1$

   Nhân cả 2 vế vs $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} > 1$ ta có

   $1 – 2m > \sqrt{m^2+1}$

   ĐK: $m \leq \dfrac{1}{2}$. Bình phương 2 vế ta có

   $1 – 4m + 4m^2 > m^2 + 1$

   $<-> 3m^2 – 4m > 0$

   Vậy $m > \dfrac{4}{3}$ hoặc $m < 0$.

   Kết hợp đk ta có $m<0$.

   TH2: $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} < -1$

   BPT tương đương vs

   $\dfrac{1 – 2m + \sqrt{m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}< 0$

   Do mẫu thức luôn lớn hơn 0 nên tử số phải nhỏ hơn 0 hay

   $1 – 2m + \sqrt{m^2+1} < 0$

   $<-> \sqrt{m^2+1} < 2m-1$

   ĐK: $m \geq \dfrac{1}{2}$

   Bình phương 2 vế ta có

   $m^2 + 1 < 4m^2 - 4m + 1$

   $<-> 3m^2 – 4m > 0$

   Vậy $m > \dfrac{4}{3}$ hoặc $m < 0$. Kết hợp đk ta có $m > \dfrac{4}{3}$.

   Vậy để ptrinh vô nghiệm thì $m< 0$ hoặc $m > \dfrac{4}{3}$.

   Bình luận