Cần gấp
Cho 3 số dương `0` nhỏ hơn hoặc bằng `a` nhỏ hơn hoặc bằng `b` nhỏ hơn hoặc bằng `c` nhỏ hơn hoặc bằng `1`
chứng minh `a/(bc + 1) + b/(ac + 1) + c/(ab + 1)` nhỏ hơn hoặc bằng `2`
Cần gấp
Cho 3 số dương `0` nhỏ hơn hoặc bằng `a` nhỏ hơn hoặc bằng `b` nhỏ hơn hoặc bằng `c` nhỏ hơn hoặc bằng `1`
chứng minh `a/(bc + 1) + b/(ac + 1) + c/(ab + 1)` nhỏ hơn hoặc bằng `2`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có
$(a-1)(b-1)≥0$
$⇔(a-1)b-(a-1)≥0$
$⇔ab-b-a+1≥0$
$⇔ab+1≥a+b$
`⇒1/{ab+1}≤1/{a+b}`
`⇒c/{ab+1}≤c/{a+b}`
Tương tự ta có:
`b/{ac+1}≤b/{a+c}`
`a/{bc+1}≤a/{b+c}`
Áp dụng tính chất `0≤a≤b≤1 ⇒ a/b≤1 ⇒ {a+m}/{b+m}≥1≥a/b`
Ta có:
`b/{ac+1}≤b/{a+c}≤{2b}/{a+b+c}` ; `c/{ab+1}≤c/{a+b}≤{2c}/{a+b+c}` ; `a/{bc+1}≤a/{b+c}≤{2a}/{a+b+c}`
`⇒a/{bc+1}+b/{ac+1}+c/{ab+1}≤{2a}/{a+b+c}+{2b}/{a+b+c}+{2c}/{a+b+c}=2` $(đ.p.c.m)$
Đặt `a/(bc+1) + b/(ac+1) + c/(ab+1) = A`
Vì `0 le a le b le c le 1`
`=> a-1 le 0 ; c-1 le 0`
`=> (a-1)(c-1) ge 0`
`=> ac – a – c +1 ge 0`
`=> ac+1 ge a+c`
`=> 1/(ac+1) le 1/(a+c) `
`=> b/(ac+1) le b/(a+c) (1)`
Vì `0 le a le b le c le 1`
`=> a-1 le 0 ; b-1 le 0`
`=> (a-1)(b-1) ge 0`
`=> ab -a – b + 1 ge 0`
`=> ab +1 ge a+b`
`=> 1/(ab+1) le 1/(a+b)`
`=> c/(ab+1) le c/(a+b) (2)`
Vì `0 le a le b le c le 1`
`=> b-1 le 0 ; c-1 le 0`
`=> (b-1)(c-1) ge 0`
`=> bc – b – c +1 ge 0`
`=> bc +1 ge b+c`
`=> 1/(bc+1) le 1/(b+c)`
`=> a/(bc+1) le a/(b+c) (3)`
Từ `(1); (2); (3)` cộng vế với vế ta được:
`a/(bc+1) + b/(ac+1) + c/(ab+1) le a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)`
`A le (2a)/(a+b+c) + (2b)/(a+b+c) + (2c)/(a+b+c)`
`A le (2a+2b+2c)/(a+b+c)`
`A le 2`
Vậy `a/(bc+1) + b/(ac+1) + c/(ab+1) le 2`