Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I.
a) Chứng minh rằng điểm K đối xứng với M qua AC
b) Tứ giác AKCM là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AKCM là hình vuông.
Câu 2: Độ dài đường trung bình của hình thang là 26 cm. Hai đáy của hình thang tỉ lệ với 9 và 4. Tính độ dài hai đáy hình thang.
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD, qua D kẻ DE vuông góc với AB ( E thuộc AB ) kẻ DH vuông góc với AC ( H thuộc AC )
a) Chứng minh tứ giác AEDH là hình chữ nhật.
b) Gọi M và G lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là điểm đối xứng với G qua M. Chứng minh tứ giác AGCK là hình thoi.
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AGCK là hình vuông.
Bài 2
Tổng độ dài 2 đáy là
$26.2 = 52$ (cm)
Do 2 đáy tỉ lệ với 9 và 4 nên nếu coi đáy nhỏ là 4 phần bằng nhau thì đáy lớn là 9 phần như thế.
Vậy đáy nhỏ là
$52 : (4 + 9) . 4 = 16$ (cm)
Đáy lớn là
$52 : (4 + 9) . 9 = 36$ (cm)
Bài 1
a) Do M và I là trung điểm của BC, AC nên MI là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MI//AB.
Lại có $AB \perp CA$ nên $MI \perp$.
Tuy nhiên, K đxung vs M qua I nên I là trung điểm KM.
Vậy AC là trung trực của KM. Suy ra K đxung vs M qua AC.
b) Ta có I là trung điểm CA, I là trung điểm KM nên I là tâm đối xứng của tứ giác AKCM.
Lại có $AC \perp KM$.
Vậy tứ giác AKCM là hình thoi.
c) Để tứ giác AKCM là hình vuông thì $\widehat{AMC} = 90^{\circ}$. Do đó AM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Câu 3
a) Xét tứ giác AEDH có
$\widehat{DEA} = \widehat{EAH} = \widehat{AHD} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác AEDH là hình chữ nhật.
b) Do M, G là trung điểm AC, BC nên MG là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MG//AB.
Lại có $AB \perp AC$ nên $MG \perp AB$.
Mặt khác, do K đxung vs G qua M nên M là trung điểm GK.
Lại có M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đxung của tứ giác AGCK. Vậy tứ giác này là hình bình hành.
Lại có $KG \perp AC$. Suy ra tứ giác AKCG là hình thoi.