Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tai A có AB = 8 cm và AC = 6 cm.
a. Tính độ dài cạnh BC
b. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB, đường trung tuyến BK của tam giác BCD cắt AC tại E.Tính độ dài các đoạn EC và EA
c. Chứng minh CB = CD
a) Áp dụng định lý Pytago ta tính được cạnh huyền BC = 10cm
b) Xét ∆DBC có
BK là trung tuyến ứng với cạnh CD (gt)
CA là trung tuyến ứng với cạnh BD (AB = AD)
BK giao với CA tại E
Suy ra E là trọng tâm của ∆BDC
Suy ra CE = 2AC/3 = 4cm; AE = 2cm
c) Xét ∆BDC có
CA là trung tuyến ứng với cạnh BD
CA là đường cao ứng với cạnh BD
Suy ra ∆BDC cân tại C
Suy ra CB = CD
Hoặc chứng minh ∆CAD = ∆CDB (hai cạnh góc vuông)
b ) Ta có AB = AD ( gt )
=> CA là đường trung tuyến của BD
CA vuông góc với BD ( t/g ABC vuông tại A )
=> Ca là đường cao của BD
mà CA là đường trung tuyến của BD ( chứng minh trên )
t/g BCD cân tại C
=> CA cũng là p/g của t/g ABC
=> góc BCA = góc DCA
BC = CD ( t/g BCD cân tại C )
EC : cạnh chung
suy ra t/g BEC = t/g DEC ( c – g – c )
c ) Trên trung tuyến CA có CE/AC = 6-2/6 = 2/3
ba đường trung tuyến của t/g BCD đồng quy tại E
=> DE là đường trung tuyến của BC
=> DE đi qua trung điểm BC