Câu 4. (3.5 điểm) Cho ∆ABC có AB > AC, trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC.
Chứng minh AD = CB và AD // BC ;
Chứng minh AC + CB > 2CM ;
Gọi K là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho AK = 2KM, CK cắt AD tại N. Chứng minh N là trung điểm của AD.
Gọi I là giao điểm của BN và CD. Chứng minh CD/MI = 6
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Xét tam giác AMD và tam giác BMC có:
MA=MB( M là trung điểm AB)
MD=MC( gt)
góc AMD= góc BMC
=> tam giác AMD= tam giác BMC( cgc)
=> AD=BC( cặp cạnh tương ứng)
=> góc DAM = góc MBC ( cặp góc tương ứng)
mà hai góc ở vị trí so le trong
=> AD//BC
b) xét tam giác ADC có: AD+ AC> DC( bất đẳng thức tam giác) (1)
mà DC=CM+MD=2CM( vì DM=CM) ; AD = BC( cmt) (2)
(1) và (2) => AC+ BC > 2CM (ĐPCM)
c)
ta có AK = 2KM ( gt)
=> AM= AK+KM=2KM+KM=3KM
=> KM/AM=1/3=> AM/AM=2/3 => K là trọng tâm của tam giác ADC
=> CN là trung tuyến ứng với AD ( N thuộc AK)=> N là trung điểm AD
d)
tam giác ABD có BN và DM là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại I
=> I là trọng tâm của ΔABD
=> MI = 1/3 DM
mà DM =1/2CD ( vì MD=MC)
=> MI = 1/6 CD => CD/MI =6 ( đpcm)