Câu 5:(3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A , BC=5cm, AC=2.AB
a)Tính độ dài các cạnh AB, AC .
b)Từ A hạ đường cao AH (H BC), gọi I là trung điểm của AH; qua B, vẽ đường thẳng (d) vuông góc với BC; gọi D là giao điểm của hai đường thẳng CI và (d).Tính diện tích tứ giác BHID.
c)Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA.Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn này là E.Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Đáp án:
a)
Tam giác ABC vuông tại A nên :
$\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
\Rightarrow A{B^2} + {\left( {2AB} \right)^2} = {5^2}\\
\Rightarrow 5A{B^2} = 25\\
\Rightarrow A{B^2} = 5\\
\Rightarrow AB = \sqrt 5 \left( {cm} \right)\\
\Rightarrow AC = 2AB = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)
\end{array}$
b)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có AH là đường cao
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AH.BC = AB.AC\\
A{C^2} = CH.CB
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt 5 .\sqrt 5 }}{5} = 2\\
CH = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}}{5} = 4
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IH = \frac{{AH}}{2} = 1\\
CH = 4;BH = 1
\end{array} \right.\\
\Delta BDC\,co:IH//BD\\
\Rightarrow \frac{{IH}}{{BD}} = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{4}{5}\\
\Rightarrow BD = IH:\frac{4}{5} = \frac{5}{4}\\
\Rightarrow {S_{BHID}} = \frac{1}{2}.\left( {IH + BD} \right).BH\\
{S_{BHID}} = \frac{1}{2}.\left( {1 + \frac{5}{4}} \right).1\\
{S_{BHID}} = \frac{9}{8}\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$
Do BHID là hình thang vuông có BH là chiều cao
c)
Xét tam giác BAC và BEC có:
+) AB=BE
+) AC=EC
+) BC chung
=> ΔBAC=ΔBEC
=> góc BAC= góc BEC=90
=> BE⊥EC
=> CE là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)