Cho 0 < x < π/2. Chứng minh tanx + cotx ≥ 2 Mong mọi người giúp mình ạ! Mình cảm ơn 19/08/2021 Bởi Kaylee Cho 0 < x < π/2. Chứng minh tanx + cotx ≥ 2 Mong mọi người giúp mình ạ! Mình cảm ơn
$x\in (0;\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow\tan x, \cot x$ xác định $\tan x+\cot x=\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}=\dfrac{2}{\sin 2x}$ Ta có $\sin 2x\le 1$ $\Rightarrow \dfrac{2}{\sin 2x}\ge 2$ $\Leftrightarrow \tan x+\cot x\ge 2$ (đpcm) Bình luận
Đáp án: $\begin{array}{l}0 < x < \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow {\mathop{\rm tanx}\nolimits} > 0\\ \Rightarrow A = tanx + cotx\\ = tanx + \dfrac{1}{{\tan x}}\\Theo\,Cô – si:\\\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} \ge 2.\sqrt {\tan x.\dfrac{1}{{\tan x}}} = 2\\\text{Vậy}\,\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} \ge 2\\Khi:\tan x = \dfrac{1}{{\tan x}}\\ \Rightarrow {\tan ^2}x = 1\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = – 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\Do:0 < x < \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\end{array}$ Bình luận
$x\in (0;\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow\tan x, \cot x$ xác định
$\tan x+\cot x=\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}=\dfrac{2}{\sin 2x}$
Ta có $\sin 2x\le 1$
$\Rightarrow \dfrac{2}{\sin 2x}\ge 2$
$\Leftrightarrow \tan x+\cot x\ge 2$ (đpcm)
Đáp án:
$\begin{array}{l}
0 < x < \dfrac{\pi }{2}\\
\Rightarrow {\mathop{\rm tanx}\nolimits} > 0\\
\Rightarrow A = tanx + cotx\\
= tanx + \dfrac{1}{{\tan x}}\\
Theo\,Cô – si:\\
\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} \ge 2.\sqrt {\tan x.\dfrac{1}{{\tan x}}} = 2\\
\text{Vậy}\,\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} \ge 2\\
Khi:\tan x = \dfrac{1}{{\tan x}}\\
\Rightarrow {\tan ^2}x = 1\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = – 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
Do:0 < x < \dfrac{\pi }{2}\\
\Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}
\end{array}$