Cho 0 ≤ a,b,c ≤ 1. CMR 2a^3 + 2b^3 + 2c^3 <= 3 + a^2b + b^2c + c^2a

0 bình luận về “Cho 0 ≤ a,b,c ≤ 1. CMR 2a^3 + 2b^3 + 2c^3 <= 3 + a^2b + b^2c + c^2a”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Ta có $0\leq a,b,c\leq 1 $nên $a^{2}\leq 1$ và $b\geq 0$ nên ta có $(1-a^2)(1-b)\geq 0$⇔ $1+a^2b\geq a^2+b\geq a^3+b^3 (1)$

   Tương tự ta cũng có:$\left \{ {{1+b^2c\geq b^3+c^3} \atop {1+c^2a\geq c^3+a^3}} \right.$

   Từ đó ta có: $2a^3 + 2b^3 + 2c^3 \leq 3 + a^2b + b^2c + c^2a$. 

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Theo đề bài, ta có:

   $\bullet a\le 1$

   $\to a.{{a}^{2}}\le 1.{{a}^{2}}$

   $\to {{a}^{3}}\le {{a}^{2}}\left( 1 \right)$

    

   $\bullet b\le 1$

   $\to {{b}^{2}}\le {{1}^{2}}$

   $\to {{b}^{2}}\le 1$

   ${{b}^{2}}.b\le 1.b$

   $\to {{b}^{3}}\le b\left( 2 \right)$

    

   Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:

   ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le {{a}^{2}}+b\left( 3 \right)$

    

    

   $\bullet a\le 1$

   $\to {{a}^{2}}\le {{1}^{2}}$

   $\to {{a}^{2}}\le 1$

   $\to {{a}^{2}}-1\le 0\left( 4 \right)$

    

   $\bullet b\le 1$

   $\to b-1\le 0\left( 5 \right)$

    

   Lấy $\left( 4 \right).\left( 5 \right)$, ta được

   $\to \left( {{a}^{2}}-1 \right)\left( b-1 \right)\ge 0$

   $\to {{a}^{2}}b-{{a}^{2}}-b+1\ge 0$

   $\to {{a}^{2}}+b\le {{a}^{2}}b+1\,\,\,\,\,\left( 6 \right)$

    

   $\bullet \,\,\,\,\,$Kết hợp với ý $\left( 3 \right)$ và $\left( 6 \right)$, ta được:

   ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\le {{a}^{2}}b+1$

    

   Chứng minh tương tự, ta cũng sẽ được các kết quả như sau:

   ${{b}^{3}}+{{c}^{3}}\le {{b}^{2}}c+1$

   ${{c}^{3}}+{{a}^{3}}\le {{c}^{2}}a+1$

    

   $\bullet \,\,\,\,\,$Cộng vế theo vế, ta được:

   ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{c}^{3}}+{{a}^{3}}\le {{a}^{2}}b+1+{{b}^{2}}c+1+{{c}^{2}}a+1$

   $\to 2{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}+2{{c}^{3}}\le 3+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$

    

    

    

   Bình luận