Cho x ≥ 0. CMR $\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+…+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x}}}}}$ ( 2020 dấu căn) < $\frac{1+\sqrt[]{1+4x}}{2}$

0 bình luận về “Cho x ≥ 0. CMR $\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+…+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x}}}}}$ ( 2020 dấu căn) < $\frac{1+\sqrt[]{1+4x}}{2}$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $: y = \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +….+ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +…}}}}} > 0$ ( vô số dấu căn)

   $ ⇒ y² = x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +….+ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + …}}}}}$ ( vô số dấu căn) $= x + y$

   $ ⇔ y² – y = x (1) ⇔ 4y² – 4y + 1 = 4x + 1$

   $ ⇔ (2y – 1)² = 4x + 1 ⇒ 2y – 1 = \sqrt[]{4x + 1}$

   ( Vì từ $(1) : y² – y = x ≥ 0 ⇔ y(y – 1) ≥ 0 ⇔ y ≥ 1 ⇔ 2y – 1 > 0$

   $ ⇔ 2y = 1 + \sqrt[]{4x + 1} ⇔ y = \frac{1 + \sqrt[]{4x + 1}}{2}$

   $ ⇒ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +….+ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x}}}}}$ ( 2020 dấu căn)$ < y = \frac{1 + \sqrt[]{4x + 1}}{2}$

    

   Bình luận

2. Đặt : $y = \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +….+ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +…}}}}} > 0 $

   $⇒ y² = x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +….+ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + …}}}}} = x + y$

   $⇔ y² – y = x (1)$

   $⇔ (2y – 1)² = 4x + 1 $

   $⇒ 2y – 1 = \sqrt[]{4x + 1}$

   $Từ (1) : y² – y = x ≥ 0 $⇔ y(y – 1) ≥ 0 ⇔ y ≥ 1 $⇔ 2y – 1 > 0$

   $⇔ 2y = 1 + \sqrt[]{4x + 1} $

   $⇔ y = \frac{1 + \sqrt[]{4x + 1}}{2}$

   $⇒ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x + \sqrt[]{x +….+ \sqrt[]{x + \sqrt[]{x}}}}} < y = \frac{1 + \sqrt[]{4x + 1}}{2}$

    

   Bình luận