Cho $x > 0, y > 0$ thỏa mãn $x\geq 2y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $M = \dfrac{x^2 + 3xy + 2y^2}{xy}$

Đáp án:

Vậy $M_{min} = 6$ khi $x=2y$

Giải thích các bước giải:

 Ta có : $x≥2y \to \dfrac{x}{y} ≥ 2$

Do đó :

$M = \dfrac{x^2+3xy+2y^2}{xy} =  \dfrac{x}{y}+3+\dfrac{2y}{x}$

$ = \bigg(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y}\bigg) + \dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{2y}+3$

$ = \bigg(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y}\bigg) + \dfrac{x}{2y} + 3$

Theo BĐT AM – GM ta có :

$\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{2y}{x}.\dfrac{x}{2y}} = 2$

Có : $\dfrac{x}{y} ≥ 2 \to \dfrac{x}{2y} ≥ 2. \dfrac{1}{2} = 1$

Khi đó : $M ≥2+1+3= 6$

Dấu “=” xảy ra $⇔x=2y$

Vậy $M_{min} = 6$ khi $x=2y$