Cho $x > 0, y > 0$ thỏa mãn $x\geq 2y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $M = \dfrac{x^2 + 3xy + 2y^2}{xy}$ 02/08/2021 Bởi Mary Cho $x > 0, y > 0$ thỏa mãn $x\geq 2y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $M = \dfrac{x^2 + 3xy + 2y^2}{xy}$
Đáp án: Vậy $M_{min} = 6$ khi $x=2y$ Giải thích các bước giải: Ta có : $x≥2y \to \dfrac{x}{y} ≥ 2$ Do đó : $M = \dfrac{x^2+3xy+2y^2}{xy} = \dfrac{x}{y}+3+\dfrac{2y}{x}$ $ = \bigg(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y}\bigg) + \dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{2y}+3$ $ = \bigg(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y}\bigg) + \dfrac{x}{2y} + 3$ Theo BĐT AM – GM ta có : $\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{2y}{x}.\dfrac{x}{2y}} = 2$ Có : $\dfrac{x}{y} ≥ 2 \to \dfrac{x}{2y} ≥ 2. \dfrac{1}{2} = 1$ Khi đó : $M ≥2+1+3= 6$ Dấu “=” xảy ra $⇔x=2y$ Vậy $M_{min} = 6$ khi $x=2y$ Bình luận
Đáp án:
Vậy $M_{min} = 6$ khi $x=2y$
Giải thích các bước giải:
Ta có : $x≥2y \to \dfrac{x}{y} ≥ 2$
Do đó :
$M = \dfrac{x^2+3xy+2y^2}{xy} = \dfrac{x}{y}+3+\dfrac{2y}{x}$
$ = \bigg(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y}\bigg) + \dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{2y}+3$
$ = \bigg(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y}\bigg) + \dfrac{x}{2y} + 3$
Theo BĐT AM – GM ta có :
$\dfrac{2y}{x}+\dfrac{x}{2y} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{2y}{x}.\dfrac{x}{2y}} = 2$
Có : $\dfrac{x}{y} ≥ 2 \to \dfrac{x}{2y} ≥ 2. \dfrac{1}{2} = 1$
Khi đó : $M ≥2+1+3= 6$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=2y$
Vậy $M_{min} = 6$ khi $x=2y$