cho x > 0; y > 0 thỏa mãn x + y ≤ 1 chứng minh rằng: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ≤ $\frac{4}{x + y}$ 14/08/2021 Bởi Eva cho x > 0; y > 0 thỏa mãn x + y ≤ 1 chứng minh rằng: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ≤ $\frac{4}{x + y}$
Đáp án: đề sai Giải thích các bước giải: Vì `x;y>0` nên ta áp dụng BĐT Svac-xơ ta có : `1/x+1/y>=(1+1)^2/(x+y)=4/(x+y)` mà đề bảo c/m: `1/x+1/y<=4/(x+y)` `=>1/x+1/y=4/(x+y)` thôi hoặc đề sai Bình luận
Sửa đề: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y}$ Ta có: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x + y}{xy} \geq \dfrac{4}{x + y}$ $\Leftrightarrow (x + y)^2 \geq 4xy$ $\Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy$ $\Leftrightarrow x^2 – 2xy + y^2 \geq 0$ $\Leftrightarrow (x – y)^2 \geq 0$ (luôn đúng) Vậy $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y}$ Bình luận
Đáp án: đề sai
Giải thích các bước giải:
Vì `x;y>0` nên ta áp dụng BĐT Svac-xơ ta có :
`1/x+1/y>=(1+1)^2/(x+y)=4/(x+y)`
mà đề bảo c/m: `1/x+1/y<=4/(x+y)`
`=>1/x+1/y=4/(x+y)` thôi hoặc đề sai
Sửa đề:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y}$
Ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x + y}{xy} \geq \dfrac{4}{x + y}$
$\Leftrightarrow (x + y)^2 \geq 4xy$
$\Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy$
$\Leftrightarrow x^2 – 2xy + y^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow (x – y)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Vậy $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y}$