$Cho_{}$ $x>0_{};$ $y>0_{}$ $thoả_{}$ $mãn_{}$ $x+y=2_{}$ $Chứng_{}$ $minh_{}$ $rằng:_{}$ $0

22/07/2021 Bởi Ivy

0 bình luận về “$Cho_{}$ $x>0_{};$ $y>0_{}$ $thoả_{}$ $mãn_{}$ $x+y=2_{}$ $Chứng_{}$ $minh_{}$ $rằng:_{}$ $0<xy_{}$ $\leq1$ #Nhanh nào mọi người, áp dụng bđt côsi”

1. Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ ta được:

   $x + y \geq 2\sqrt{xy} > 0$

   $\Leftrightarrow 2 \geq 2\sqrt{xy} > 0$

   $\Leftrightarrow 1 \geq \sqrt{xy} > 0$

   $\Leftrightarrow 0 < xy \leq 1$

   Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = 1$

   Bình luận

2. $x>0, y>0\Rightarrow xy>0$       (1) 

   Theo Cosi: 

   $x+y\ge 2\sqrt{xy}$

   $\Leftrightarrow 2\sqrt{xy}\le 2$

   $\Leftrightarrow \sqrt{xy}\le 1$

   $\Leftrightarrow xy\le 1$               (2)

   $”=”\Leftrightarrow x=y=1$

   (1)(2)$\to 0<xy\le 1$

   Bình luận