Cho x>0, y>0 và 9/x + 1/y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của M=x+y. 25/07/2021 Bởi Maria Cho x>0, y>0 và 9/x + 1/y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của M=x+y.
Đáp án: max M=16 và min M=4 Giải thích các bước giải: Ta có :\(\begin{array}{l} \frac{9}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ = > \frac{1}{y} = 1 – \frac{9}{x} = \frac{{x – 9}}{x} \\ = > y = \frac{x}{{x – 9}} \\ M = x + y = x + \frac{x}{{x – 9}} = \frac{{x^2 – 8x}}{{x – 9}} \\ = > Mx – 9M = x^2 – 8x \\ \Leftrightarrow x^2 – (M + 8)x + 9M = 0 \\ \Delta = (M + 8)^2 – 4.9M = M^2 – 20M + 64 \\ \end{array}\) áp dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 ta có: \(\begin{array}{l} \Delta \ge 0 \Rightarrow M^2 – 20M + 64 \ge 0 \\ \Leftrightarrow (M – 16)(M – 4) \ge 0 \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} {M \ge 16} \\ {M \le 4} \\\end{array}} \right. \\ \end{array}\) Vậy max M=16 và min M=4 Bình luận
Đáp án:
max M=16 và min M=4
Giải thích các bước giải:
Ta có :\(
\begin{array}{l}
\frac{9}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\
= > \frac{1}{y} = 1 – \frac{9}{x} = \frac{{x – 9}}{x} \\
= > y = \frac{x}{{x – 9}} \\
M = x + y = x + \frac{x}{{x – 9}} = \frac{{x^2 – 8x}}{{x – 9}} \\
= > Mx – 9M = x^2 – 8x \\
\Leftrightarrow x^2 – (M + 8)x + 9M = 0 \\
\Delta = (M + 8)^2 – 4.9M = M^2 – 20M + 64 \\
\end{array}
\)
áp dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 ta có:
\(
\begin{array}{l}
\Delta \ge 0 \Rightarrow M^2 – 20M + 64 \ge 0 \\
\Leftrightarrow (M – 16)(M – 4) \ge 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{M \ge 16} \\
{M \le 4} \\
\end{array}} \right. \\
\end{array}
\)
Vậy max M=16 và min M=4