Cho x>0, y>0 và 9/x + 1/y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của M=x+y.

Đáp án:

max M=16 và min M=4

Giải thích các bước giải:

 Ta có :\(
\begin{array}{l}
 \frac{9}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ 
  =  > \frac{1}{y} = 1 – \frac{9}{x} = \frac{{x – 9}}{x} \\ 
  =  > y = \frac{x}{{x – 9}} \\ 
 M = x + y = x + \frac{x}{{x – 9}} = \frac{{x^2  – 8x}}{{x – 9}} \\ 
  =  > Mx – 9M = x^2  – 8x \\ 
  \Leftrightarrow x^2  – (M + 8)x + 9M = 0 \\ 
 \Delta  = (M + 8)^2  – 4.9M = M^2  – 20M + 64 \\ 
 \end{array}
\)

áp dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 ta có:

\(
\begin{array}{l}
 \Delta  \ge 0 \Rightarrow M^2  – 20M + 64 \ge 0 \\ 
  \Leftrightarrow (M – 16)(M – 4) \ge 0 \\ 
  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {M \ge 16}  \\
   {M \le 4}  \\
\end{array}} \right. \\ 
 \end{array}
\)

Vậy max M=16 và min M=4