Cho 1/a + 1/b + 1/c = 6 và 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 12 . CMR : P= ( 1/a -3)^2020 + (1/b-3)^20202 + (1/c-3 )^2020 15/08/2021 Bởi Piper Cho 1/a + 1/b + 1/c = 6 và 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 12 . CMR : P= ( 1/a -3)^2020 + (1/b-3)^20202 + (1/c-3 )^2020
Đáp án: \[P = 3\] Giải thích các bước giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {x – y} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\,\forall x,y\\{\left( {y – z} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} + {z^2} \ge 2yz,\,\,\,\forall y,z\\{\left( {z – x} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {z^2} + {x^2} \ge 2zx,\,\,\,\forall z,x\\ \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} + {x^2}} \right) \ge 2xy + 2yz + 2zx\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + zx} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx,\,\,\,\,\,\forall x,y,z\end{array}\) Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z\) Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: \(\begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 6\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = 36\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) = 36\\ \Rightarrow 36 \le \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) = 3.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 12\end{array}\) Từ giả thiết suy ra dấu ‘=’ ở trên phải xảy ra. Do đó, \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = 2\) Vậy \(P = {\left( {\frac{1}{a} – 3} \right)^{2020}} + {\left( {\frac{1}{b} – 3} \right)^{2020}} + {\left( {\frac{1}{c} – 3} \right)^{2020}} = 3.{\left( {2 – 1} \right)^{2020}} = 3\) Bình luận
Đáp án:
\[P = 3\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x – y} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\,\forall x,y\\
{\left( {y – z} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} + {z^2} \ge 2yz,\,\,\,\forall y,z\\
{\left( {z – x} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {z^2} + {x^2} \ge 2zx,\,\,\,\forall z,x\\
\Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} + {x^2}} \right) \ge 2xy + 2yz + 2zx\\
\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + zx} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx,\,\,\,\,\,\forall x,y,z
\end{array}\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 6\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} = 36\\
\Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right) = 36\\
\Rightarrow 36 \le \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + 2.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) = 3.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\\
\Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 12
\end{array}\)
Từ giả thiết suy ra dấu ‘=’ ở trên phải xảy ra. Do đó, \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = 2\)
Vậy \(P = {\left( {\frac{1}{a} – 3} \right)^{2020}} + {\left( {\frac{1}{b} – 3} \right)^{2020}} + {\left( {\frac{1}{c} – 3} \right)^{2020}} = 3.{\left( {2 – 1} \right)^{2020}} = 3\)