Cho 1 hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 60° a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b. Tính diện

Xét hình chóp đều $S.ABCD$ đáy $ABCD$ cạnh $a$, cạnh bên hộ với đáy một góc $60^\circ$ là hình chóp thoả mã đề bài.

a) Gọi $O$ là tâm của $ABCD$

$\to \begin{cases}SO\perp (ABCD)\\OA = OB = OC = OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}\end{cases}$

$\to \widehat{(SA;(ABCD))}=\widehat{SAO}=60^\circ$

$\to \begin{cases}SO = OA.\tan60^\circ = \dfrac{a\sqrt6}{2}\\SA = \dfrac{OA}{\cos60^\circ}=a\sqrt2\end{cases}$

Trong $mp(SAO)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$

$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Khi đó:

$R = \dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{2a^2}{2\cdot\dfrac{a\sqrt6}{2}}=\dfrac{a\sqrt6}{3}$

b) Diện tích mặt cầu:

$S =4\pi R^2 = 4\pi \left(\dfrac{a\sqrt6}{3}\right)^2 = \dfrac{8\pi a^2}{3}$

Thể tích khối cầu:

$V =\dfrac43\pi R^3 =\dfrac43\pi\left(\dfrac{a\sqrt6}{3}\right)^3 = \dfrac{8\pi a^3\sqrt6}{27}$