Cho 2 điểm O, P cố định. Một góc xOy = 60 độ quay quanh điểm O sao cho điểm P luôn nằm trong góc đó. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của P trên Ox và Oy. Đường thẳng PK cắt Ox tại A, PH cắt Oy tại B
a, CMR: HK và AB ko đổi
b, gọi M,N lần lượt là trung điểm OP và AB. Cmr: MKNH là tứ giác nội tiếp
c, Cmr: trung điểm I của HK di động trên 1 đường tròn cố định
Cho 2 điểm O, P cố định. Một góc xOy = 60 độ quay quanh điểm O sao cho điểm P luôn nằm trong góc đó. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của P trên Ox v
By Sadie
1) Vì O và P cố định ==> độ dài đoạn OP không đổi . Ta đặt OP= 2a (a>0).
Tứ giác OHPK nội tiếp (vì tổng 2 góc đối diện bằng 180 độ ) đường tròn đường kính OP.
Gọi M là trung điểm OP ==>OM=MP=MH=MK=a/2
góc nội tiếp HOK = 60 độ (gt)==>góc ở tâm HMK= 120 độ .
Với I là trung điểm HK ==>góc HMI =60 độ
==>IH=MH.sin60 độ = (acăn3)/2
vậy HK = acăn3 (không đổi )
Mặt khác, góc AKB = góc AHB (cùng = 90 độ ) ==> tứ giác AHKB nội tiếp (vì 2 đỉnh H và K cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông )đường kính AB, tâm là trung điểm N của AB .
mà góc OAK = 30 độ ( vì góc O = 60 độ và góc K vuông )là góc nội tiếp đường tròn (N)
==>góc ở tâm HNK = 60 độ
và NH =NK (bk (N))
==> tam giác NHK đều ==>HK = NH = NK =acăn3
==> AB = 2acăn3 (không đổi )
2)Do cmt , góc HMK = 120 độ
mà góc HNK = 60 độ
==>góc HMK +góc HNK = 180 độ
==> tứ giác HMKN nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180 độ )
3)Ta có OP cố định ==> trung điểm M của OP cố định
Vậy MI = MH. cosHMI = a. cos 60độ =a/2 không đổi
I cách M một khoảng a/2 không đổi nên I di động trên đường tròn tâm M bán kính a/2