Cho 2 số dương a,b thỏa mãn $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = 2. Tìm GTLN của biểu thức
Q = $\frac{1}{a^{4} + b^{2} + 2ab^{2}}$ + $\frac{1}{b^{4} + a^{2} + 2ba^{2}}$
Cho 2 số dương a,b thỏa mãn $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = 2. Tìm GTLN của biểu thức
Q = $\frac{1}{a^{4} + b^{2} + 2ab^{2}}$ + $\frac{1}{b^{4} + a^{2} + 2ba^{2}}$
Đáp án: $Q\le \dfrac12$
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$Q=\dfrac{1}{a^{4} + b^{2} + 2ab^{2}}+\dfrac{1}{b^{4} + a^{2} + 2ba^{2}}$
$\to Q\le \dfrac{1}{2a^{2}b + 2ab^{2}}+\dfrac{1}{2b^{2}a + 2ba^{2}}$
$\to Q\le \dfrac{1}{2ab(a+b)}+\dfrac{1}{2ab(a+b)}$
$\to Q\le \dfrac{1}{ab(a+b)}$
$\to Q\le \dfrac{1}{a^2b^2(\dfrac1a+\dfrac1b)}$
$\to Q\le \dfrac{1}{a^2b^2\cdot 2}$
$\to Q\le \dfrac{1}{2a^2b^2}$
$\to Q\le \dfrac12\cdot (\dfrac1a\cdot\dfrac1b)^2$
$\to Q\le \dfrac12\cdot (\dfrac14(\dfrac1a+\dfrac1b)^2)^2$
$\to Q\le \dfrac12\cdot (\dfrac14\cdot 2^2)^2$
$\to Q\le \dfrac12$
Dấu = xảy ra khi $a=b=1$