cho 2 số dương x,y thỏa mãn đk x+y = 2 . Cm xy bình phương nhân ( x bình + y bình ) <= 2 27/09/2021 Bởi Kennedy cho 2 số dương x,y thỏa mãn đk x+y = 2 . Cm xy bình phương nhân ( x bình + y bình ) <= 2
Giải thích các bước giải: Ta có: $\begin{array}{l}{\left( {xy} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ = \dfrac{1}{4}.2xy.2xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \le \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 2xy + 2xy}}{3}} \right)^3}\left( {Cauchy} \right)\\ = \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2xy}}{3}} \right)^3}\\ = \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{4 + 2xy}}{3}} \right)^3}\\ = 2{\left( {\dfrac{{xy + 2}}{3}} \right)^3}\end{array}$ Mà: $x + y \ge 2\sqrt {xy} \left( {Cauchy} \right) \Rightarrow 2 \ge 2\sqrt {xy} \Rightarrow xy \le 1$ Khi đó: $ \Rightarrow {\left( {xy} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2{\left( {\dfrac{{xy + 2}}{3}} \right)^3} \le 2{\left( {\dfrac{{1 + 2}}{3}} \right)^3} = 2$ Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2xy\\x = y\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$ Vậy ta có điều phải chứng minh Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
{\left( {xy} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\
= \dfrac{1}{4}.2xy.2xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\
\le \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 2xy + 2xy}}{3}} \right)^3}\left( {Cauchy} \right)\\
= \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2xy}}{3}} \right)^3}\\
= \dfrac{1}{4}.{\left( {\dfrac{{4 + 2xy}}{3}} \right)^3}\\
= 2{\left( {\dfrac{{xy + 2}}{3}} \right)^3}
\end{array}$
Mà: $x + y \ge 2\sqrt {xy} \left( {Cauchy} \right) \Rightarrow 2 \ge 2\sqrt {xy} \Rightarrow xy \le 1$
Khi đó:
$ \Rightarrow {\left( {xy} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2{\left( {\dfrac{{xy + 2}}{3}} \right)^3} \le 2{\left( {\dfrac{{1 + 2}}{3}} \right)^3} = 2$
Dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 2xy\\
x = y\\
x + y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$
Vậy ta có điều phải chứng minh