Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn 3a²+a=4b²-b. chứng minh a+b là một số chính phương.

0 bình luận về “Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn 3a²+a=4b²-b. chứng minh a+b là một số chính phương.”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $3a^2+a=4b^2-b$

   $\to (3a^2-3b^2)+(a+b)=b^2$

   $\to 3(a-b)(a+b)+(a+b)=b^2$

   $\to (a+b)(3a-3b+1)=b^2$

   Gọi $UCLN(a+b, 3a-3b+1)=d, d\in N^*$

   $\to \begin{cases}a+b\quad\vdots\quad d\\ 3a-3b+1\quad\vdots\quad d \end{cases}$

   $\to (a+b)(3a-3b+1)\quad\vdots\quad d^2$

   $\to b^2\quad\vdots\quad d^2$

   $\to b\quad\vdots\quad d$

   Mà $a+b\quad\vdots\quad d\to a\quad\vdots\quad d$

   $\to 3a-3b\quad\vdots\quad d$

   Lại có $3a-3b+1\quad\vdots\quad d$
   $\to 1\quad\vdots\quad d$

   $\to d=1$

   $\to (a+b, 3a-3b+1)=1$

   Mà $(a+b)(3a-3b+1)=b^2$ là số chính phương

   $\to a+b$ và $3a-3b+1$ là số chính phương

   $\to đpcm$

   Bình luận