cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn x+y≤4.Tìm GTNN của P=2 /(x ² +y ² ) + 35/xy +2xy

0 bình luận về “cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn x+y≤4.Tìm GTNN của P=2 /(x ² +y ² ) + 35/xy +2xy”

1. Đáp án: $GTNN$ của $P = 17$ khi $x = y = 2$

    

   Giải thích các bước giải:

   $4xy ≤ (x + y)² ≤ 16 ⇒ xy ≤ 4 ⇔ 4 – xy ≥ 0; 8 – xy ≥ 4 > 0 $

   $ 0 < x² + y² = (x + y)² – 2xy ≤ 16 – 2xy ⇒ \frac{2}{x² + y²} ≥ \frac{1}{8 – xy}$ 

   Áp dụng BĐT cô si:

   $\frac{2}{x² + y²} + \frac{8 – xy}{16} ≥ \frac{1}{8 – xy} + \frac{8 – xy}{16} ≥ 2\sqrt[]{(\frac{1}{8 – xy})(\frac{8 – xy}{16})} = \frac{1}{2} (1)$

   Dấu = khi $ x = y$ và $\frac{1}{8 – xy} = \frac{8 – xy}{16} ⇔ (8 – xy)² = 16 ⇔ xy = 4$

   $35(\frac{1}{xy} + \frac{xy}{16}) ≥ 35.2\sqrt[]{(\frac{1}{xy})(\frac{xy}{16})} = \frac{35}{2} (2)$ 

   Dấu = khi $\frac{1}{xy} = \frac{xy}{16} ⇔ (xy)² = 16 ⇔ xy = 4$

   $ 4 – xy ≥ 0 ⇔ \frac{2(4 – xy)}{16} – 1 ≥ – 1(3)$ (Dấu = khi $xy = 4$)

   $(1) + (2) + (3):$

   $\frac{2}{x² + y²} + \frac{8 – xy}{16} + 35(\frac{1}{xy} + \frac{xy}{16}) + \frac{2(4 – xy)}{16} – 1≥ \frac{1}{2} + \frac{35}{2} – 1$

   $⇔ \frac{2}{x² + y²} + \frac{35}{xy} + 2xy ≥ 17 $

   Vậy $GTNN$ của $P = 17$ khi đồng thời xảy ra dấu = ở $(1); (2); (3)$

   $ ⇔ x = y ; xy = 4 ⇔ x = y = 2$

   Cách khác:

   $4xy ≤ (x + y)² ≤ 16 ⇒ xy ≤ 4 ⇔ 4 – xy ≥ 0; 8 – xy > 0 (*)$

   $ 0 < x² + y² = (x + y)² – 2xy ≤ 16 – 2xy ⇒ \frac{2}{x² + y²} ≥ \frac{1}{8 – xy} (1)$ 

   $P – 17 = \frac{2}{x² + y²} + \frac{35}{xy} + 2xy – 17 ≥ \frac{1}{8 – xy} + \frac{35}{xy} + 2xy – 17 = \frac{xy + 35(8 – xy) + xy(2xy – 17)(8 – xy)}{xy(8 – xy)} = \frac{ – 2x³y³ + 33x²y² – 170xy + 280}{xy(8 – xy)}= \frac{ – 2x³y³ + 33x²y² – 170xy + 280}{xy(8 – xy)} = \frac{(4 – xy)(2x²y² – 25xy + 70)}{xy(8 – xy)} = \frac{(4 – xy)[2(xy – 5)² + 5(4 – xy)]}{xy(8 – xy)} ≥ 0 (2) ⇒ P ≥ 17 $(theo $(*))$

   Vậy $GTNN$ của $P = 17$ khi đồng thời xảy ra dấu = ở $(1); (2)$

   $ (1) ⇔ x = y$ và $ (2) ⇔ xy = 4 ⇒ x = y = 2$

    

   Bình luận