cho 2 số thực x ,y thỏa mãn x^2+y^2=1. GTLN và GTNN của biểu thức P=( 2y^2 +2xy+x^2 )/ (3y^2+2xy+x^2 )
cho 2 số thực x ,y thỏa mãn x^2+y^2=1. GTLN và GTNN của biểu thức P=( 2y^2 +2xy+x^2 )/ (3y^2+2xy+x^2 )
By Amaya
By Amaya
cho 2 số thực x ,y thỏa mãn x^2+y^2=1. GTLN và GTNN của biểu thức P=( 2y^2 +2xy+x^2 )/ (3y^2+2xy+x^2 )
Đáp án:
`P = (2y^2 + 2xy + x^2)/(3y^2 + 2xy + x^2)`
$=> P(3y^2 + 2xy + x^2) = 2y^2 + 2xy + x^2$
$=> (P – 1)x^2 + (2P – 2)xy + (3P – 2)y^2 = 0$
$Δ’ >= 0 ⇔ [(P – 1)y]^2 – (P – 1)(3P – 2)y^2 >= 0$
$⇔ y^2[(P – 1)^2 – (P – 1)(3P – 2)] >= 0$
$⇔ y^2(1 – P)(2P – 1) >= 0$
$⇔ 1/2 <= P <= 1$
Vậy $P_{Min} = 1/2 <=>$ `(x;y) in {(-1/\sqrt{2} ; 1/\sqrt{2}) ; (1/\sqrt{2} ; -1/\sqrt{2})}`
$P_{Max} = 1 <=>$ `y = 0 ; x = +- 1`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:Mình thấy bài này khá căn bản.
Giải thích các bước giải:
Đặt `(2y^2+2xy+x^2)/(3y^2+2xy+x^2)=a`
`<=>2y^2+2xy+x^2=3ay^2+2axy+ax^2`
`<=>x^2(a-1)+2xy(a-1)+y^2(3a-2)=0`
Để tìm `min,max` ta đặt `\Delta’=0`
`=>(a-1)^2-(a-1)(3a-2)=0`
`<=>(a-1)(a-1-3a+2)=0`
`<=>(a-1)(1-2a)=0`
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}a=1\\a=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
`=>Max_P=1,min_P=1/2`.
`**Max`:
Xét `P-1`
`<=>P-1=(2y^2+2xy+x^2-3y^2-2xy-x^2)/(3y^2+2xy+x^2)`
`<=>P-1=(-y^2)/(3(y+1/3x)^2+2/3x^2)<=0AAx,y in RR`
`=>P<=1`
Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}y=0\\x^2+y^2=1\\\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y=0\\x=1\\\end{cases}\\\begin{cases}y=0\\x=-1\\\end{cases}\end{array} \right.\)
`**min:`
Xét `P-1/2`
`<=>P-1/2=(4y^2+4xy+2x^2-3y^2-2xy-x^2)/(2(3y^2+2xy+x^2))`
`<=>P-1/2=(y^2+2xy+x^2)/(2[3(y+1/3x)^2+2/3x^2])`
`<=>P-1/2=(y+x)^2/(2[3(y+1/3x)^2+2/3x^2])>=0AA x,y in RR`
`=>P>=1/2`
Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}x=-y\\x^2+y^2=1\\\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\end{cases}\\\begin{cases}y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\end{cases}\end{array} \right.\)