Cho 3 điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và BC. Trên đường vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC = 90 độ giao điểm của AD và DC với hai nửa đường tròn là E và Fchứng minh rằng :
a) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đg tròn
b) EF^2 = AB.BC
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a,Gọi I là giao điểm của EF và DB
M là tâm đường tròn đường kính AB
N là tâm đường tròn đường kính BC
Có \widehat{AEB} chắn đường kính AB
⇒\widehat{AEB}=90^o
⇒\widehat{BED}=90^o
Tương tự chứng minh: \widehat{BFD}=90^o
Xét tg EDFB có \widehat{BED}=\widehat{BFD}=\widehat{ADC}=90^o
⇒tg EDFB là HCN
⇒DB=EF và IB=IE=ID=IF
⇒\triangle IEB cân tại I
⇒\widehat{IBE}=\widehat{IEB} (1)
Có ME=MB=$\frac{1}{2}$ AB
⇒\triangle MEB cân tại M
⇒\widehat{MEB}=\widehat{MBE} (2)
Từ (1) và (2) ⇒\widehat{IBE}+\widehat{MBE}=\widehat{IEB}+\widehat{MEB}
⇒\widehat{MEI}=90^o
⇒ EF là tt nửa đường tròn đường kính AB
Tương tự cm: EF là tt nửa đường tròn đường kính BC
⇒đpcm
b,Xét \triangle ADC vuông tại D, đường cao DB có
DB²=AB.BC
Mà DB=EF⇒EF²=AB.BC