Cho 3 số a,b ,c thỏa mãn a + b + c $\neq$ 0. CMR $\frac{a^3 + b^3+c^3 – 3abc}{a+b+c}$ $\geq$ 0 07/08/2021 Bởi Harper Cho 3 số a,b ,c thỏa mãn a + b + c $\neq$ 0. CMR $\frac{a^3 + b^3+c^3 – 3abc}{a+b+c}$ $\geq$ 0
Đáp án: Ta có : $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ – 3$a^{}$$b^{}$$c^{}$ = ( $a^{3}$ + $b^{3}$ + 3$a^{2}$$b^{}$ + 3$a^{}$$b^{2}$)+ $c^{3}$ – ( 3$a^{}$$b^{}$$c^{}$ + 3$a^{2}$$b^{}$ + 3$a^{}$$b^{2}$)= $(a+b)^{3}$ + $c^{3}$ – 3$a^{}$$b^{}$.( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ )= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).[ $( a + b )^{2}$ – ( $a^{}$+$b^{}$).c + $c^{2}$] – 3$a^{}$$b^{}$.( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ )= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).( $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ + 2$a^{}$$b^{}$ – $a^{}$$c^{}$ – $b^{}$$c^{}$ – 3$a^{}$$b^{}$)= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).( $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ – $a^{}$$b^{}$ – $a^{}$$c^{}$ – $b^{}$$c^{}$) Đặt A = $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$⇔ A =$\frac{( a^{}+b^{}+c^{} ).( a^{2}+b^{2}+c^{2} – a^{}b^{} – a^{}c^{} – b^{}c^{})}{a^{}+b^{}+c^{}}$ ⇔ A = $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ – $a^{}$$b^{}$ – $a^{}$$c^{}$ – $b^{}$$c^{}$⇔ 2A = 2$a^{2}$+2$b^{2}$+2$c^{2}$ – 2$a^{}$$b^{}$ – 2$a^{}$$c^{}$ – 2$b^{}$$c^{}$⇔ 2A = $( a – b )^{2}$ + $( b – c )^{2}$ + $( c – a )^{2}$ Vì $( a – b )^{2}$ , $( b – c )^{2}$ , $( c – a )^{2}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0⇔ 2A = $( a – b )^{2}$ + $( b – c )^{2}$ + $( c – a )^{2}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0⇔ 2A $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0⇔ A $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0⇔ $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0 ( đpcm ) Vậy $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0 Bình luận
Đây nghen
Đáp án:
Ta có :
$a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ – 3$a^{}$$b^{}$$c^{}$
= ( $a^{3}$ + $b^{3}$ + 3$a^{2}$$b^{}$ + 3$a^{}$$b^{2}$)+ $c^{3}$ – ( 3$a^{}$$b^{}$$c^{}$ + 3$a^{2}$$b^{}$ + 3$a^{}$$b^{2}$)
= $(a+b)^{3}$ + $c^{3}$ – 3$a^{}$$b^{}$.( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ )
= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).[ $( a + b )^{2}$ – ( $a^{}$+$b^{}$).c + $c^{2}$] – 3$a^{}$$b^{}$.( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ )
= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).( $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ + 2$a^{}$$b^{}$ – $a^{}$$c^{}$ – $b^{}$$c^{}$ – 3$a^{}$$b^{}$)
= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).( $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ – $a^{}$$b^{}$ – $a^{}$$c^{}$ – $b^{}$$c^{}$)
Đặt A = $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$
⇔ A =$\frac{( a^{}+b^{}+c^{} ).( a^{2}+b^{2}+c^{2} – a^{}b^{} – a^{}c^{} – b^{}c^{})}{a^{}+b^{}+c^{}}$
⇔ A = $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ – $a^{}$$b^{}$ – $a^{}$$c^{}$ – $b^{}$$c^{}$
⇔ 2A = 2$a^{2}$+2$b^{2}$+2$c^{2}$ – 2$a^{}$$b^{}$ – 2$a^{}$$c^{}$ – 2$b^{}$$c^{}$
⇔ 2A = $( a – b )^{2}$ + $( b – c )^{2}$ + $( c – a )^{2}$
Vì $( a – b )^{2}$ , $( b – c )^{2}$ , $( c – a )^{2}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ 2A = $( a – b )^{2}$ + $( b – c )^{2}$ + $( c – a )^{2}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ 2A $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ A $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0 ( đpcm )
Vậy $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0