Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x/y + y/z + z/x =3 Chứng minh √y/x + √z/y + √x/z ≤3

Giải thích các bước giải:

\[\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = \frac{{xy + yx + zx}}{{xyz}} = 3\]

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
{\left( {b – c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\
{\left( {c – a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca\\
 \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\
 \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca
\end{array}\)

Áp dụng BĐT trên ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {\frac{y}{x}}  + \sqrt {\frac{z}{y}}  + \sqrt {\frac{x}{z}} } \right)^2} = \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + 2\sqrt {\frac{{yz}}{{xy}}}  + 2\sqrt {\frac{{zx}}{{yz}}}  + 2\sqrt {\frac{{yx}}{{xz}}}  \le 3\left( {\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}} \right)\\
 = 3\left( {\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}} \right) = 3.3 = 9\\
 \Rightarrow \left( {\sqrt {\frac{y}{x}}  + \sqrt {\frac{z}{y}}  + \sqrt {\frac{x}{z}} } \right) \le 3
\end{array}\)