Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x/y + y/z + z/x =3 Chứng minh √y/x + √z/y + √x/z ≤3 28/07/2021 Bởi Ivy Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x/y + y/z + z/x =3 Chứng minh √y/x + √z/y + √x/z ≤3
Giải thích các bước giải: \[\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = \frac{{xy + yx + zx}}{{xyz}} = 3\] Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{\left( {b – c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{\left( {c – a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\end{array}\) Áp dụng BĐT trên ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {\frac{y}{x}} + \sqrt {\frac{z}{y}} + \sqrt {\frac{x}{z}} } \right)^2} = \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + 2\sqrt {\frac{{yz}}{{xy}}} + 2\sqrt {\frac{{zx}}{{yz}}} + 2\sqrt {\frac{{yx}}{{xz}}} \le 3\left( {\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}} \right)\\ = 3\left( {\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}} \right) = 3.3 = 9\\ \Rightarrow \left( {\sqrt {\frac{y}{x}} + \sqrt {\frac{z}{y}} + \sqrt {\frac{x}{z}} } \right) \le 3\end{array}\) Bình luận
Giải thích các bước giải:
\[\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = \frac{{xy + yx + zx}}{{xyz}} = 3\]
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
{\left( {b – c} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\
{\left( {c – a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca\\
\Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2ab + 2bc + 2ca\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca
\end{array}\)
Áp dụng BĐT trên ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {\frac{y}{x}} + \sqrt {\frac{z}{y}} + \sqrt {\frac{x}{z}} } \right)^2} = \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + 2\sqrt {\frac{{yz}}{{xy}}} + 2\sqrt {\frac{{zx}}{{yz}}} + 2\sqrt {\frac{{yx}}{{xz}}} \le 3\left( {\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}} \right)\\
= 3\left( {\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}} \right) = 3.3 = 9\\
\Rightarrow \left( {\sqrt {\frac{y}{x}} + \sqrt {\frac{z}{y}} + \sqrt {\frac{x}{z}} } \right) \le 3
\end{array}\)