Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
P= [(5y^3-x^3)/(xy+3y^2)] + [(5z^3-y^3)/(yz+3z^2)] + [(5x^3-z^3)/(xz+3x^2)] <= (nhỏ hơn bằng) 1
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
P= [(5y^3-x^3)/(xy+3y^2)] + [(5z^3-y^3)/(yz+3z^2)] + [(5x^3-z^3)/(xz+3x^2)] <= (nhỏ hơn bằng) 1
Lời giải:
Ta đi chứng minh bất đẳng thức phụ:
${{5{y^3} – {x^3}} \over {xy + 3{y^2}}} \le 2y – x$
Thật vậy:
$\eqalign{
& {{5{y^3} – {x^3}} \over {xy + 3{y^2}}} \le 2y – x \cr
& \Leftrightarrow 5{y^3} – {x^3} – (xy + 3{y^2})(2y – x) \le 0 \cr
& \Leftrightarrow – {(x – y)^2}(x + y) \le 0 \cr} $
(Luôn đúng với mọi x, y dương)
Chứng minh tương tự:
${{5{z^3} – {y^3}} \over {yz + 3{z^2}}} \le 2z – y$
${{5{x^3} – {z^3}} \over {xz + 3{x^2}}} \le 2x – z$
Vậy $P \le 2y – x + 2z – y + 2x – z = x + y + z = 1$
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = $\frac{1}{3}$ .