Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh rằng $$x^2+y^2+z^2-xy-xz-zx+xyz\geq8$$ 28/08/2021 Bởi Eva Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh rằng $$x^2+y^2+z^2-xy-xz-zx+xyz\geq8$$
Đặt $ x+y+z=p$ , $ xy+yz+zx=q$ , $\ xyz=r$$ \text {bđt} \Leftrightarrow p^{2}-3q+r\geq 8$ $ \Leftrightarrow 36-3q+r\geq 8\Leftrightarrow 28-3q+r\geq 0$Ta cần chứng minh :$28-3q+r\geq 0$ (1)Ta có bđt quen thuộc : $ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$⇒ $ r\geq \frac{4pq-p^{3}}{9}$ $ \Rightarrow r\geq \frac{8}{3}q+24$⇒ $ VT\geq 28-3q+\frac{8}{3}q-24= 4-\frac{q}{3}$Ta có bđt quen thuộc : $ xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}= 12$ $\Rightarrow q\leq 12$Do đó : $ VT\geq 4-\frac{q}{3}\geq 4-\frac{12}{3}= 0$ $\Rightarrow$ bđt (1) luôn đúng Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=z=2$ . Bình luận
Đặt $ x+y+z=p$ , $ xy+yz+zx=q$ , $\ xyz=r$
$ \text {bđt} \Leftrightarrow p^{2}-3q+r\geq 8$ $ \Leftrightarrow 36-3q+r\geq 8\Leftrightarrow 28-3q+r\geq 0$
Ta cần chứng minh :$28-3q+r\geq 0$ (1)
Ta có bđt quen thuộc : $ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$
⇒ $ r\geq \frac{4pq-p^{3}}{9}$
$ \Rightarrow r\geq \frac{8}{3}q+24$
⇒ $ VT\geq 28-3q+\frac{8}{3}q-24= 4-\frac{q}{3}$
Ta có bđt quen thuộc : $ xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}= 12$
$\Rightarrow q\leq 12$
Do đó : $ VT\geq 4-\frac{q}{3}\geq 4-\frac{12}{3}= 0$
$\Rightarrow$ bđt (1) luôn đúng
Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=z=2$ .