Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng
$\frac{1}{ab}$ + $\frac{1}{bc}$ + $\frac{1}{ca}$ ≥ 3 + $\sqrt{}$ $\frac{1}{ a^{2} + 1 }$ + $\sqrt{}$$\frac{1}{b^{2}+1}$ + $\sqrt{}$ $\frac{1}{c^{2}+1}$
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng $\frac{1}{ab}$ + $\frac{1}{bc}$ + $\frac{1}{ca}$ ≥ 3 + $\sqrt{}$ $\frac{1}
By Quinn
$Vì \ ab+ac+bc=1\rightarrow \frac{1}{ab}=\frac{ab+ac+bc}{ab}=1+\frac{c}{b}+\frac{c}{a} $
⇒ VT=$3+\frac{c}{b}+\frac{b}{c} +\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$ $\geq9$ ( Cô si) (1)
Vì $a^{2}>0\ \ \forall \ a>0$ ⇒ $\sqrt{a^{2}+1}>1\ \ \forall \ a>0$
⇒VP <6 (2)
Từ (1) và (2) suy ra VT≥VP
Dấu = không xảy ra