Cho 3 số thực dương `x,y,z` thỏa mãn : `1/x + 2/y + 3/z = 3` CM : `P = (27x^2)/(z(z^2+9x^2)) + y^2/(x(4x^2+y^2)) + (8z^2)/(y(9y^2+4z^2)) ≥ 3/2`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đặt $x=\dfrac{1}{a};y=\dfrac{2}{b};z=\dfrac{3}{c}$

Khi đó gt được viết lại:$a+b+c=3$

Bđt cần chứng minh trở thành:

$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}≥\dfrac{3}{2}$

Dùng Bất đẳng thức Cauchy ngược dấu ta được:

$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}≥\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=3;y=2;z=1$