Cho 3 số thực không âm và a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất là nhỏ nhất của: K= $\sqrt{3a+1}$ +$\sqrt{3b+1}$+ $\sqrt{3c+1}$

Đáp án:

 Áp dụng BĐT `bunhia` có : 

`K = \sqrt{3a + 1} + \sqrt{3b+  1} + \sqrt{3c + 1} ≤ \sqrt{(1^2 + 1^2 + 1^2)((\sqrt{3a+ 1})^2 + (\sqrt{3b + 1})^2 + (\sqrt{3c + 1})^2)} = \sqrt{3(3(a + b + c) + 3)} = \sqrt{3(3.3 + 3)} = 6`

Dấu “=” `↔ a = b = c = 1`

Vậy `K_{Max} = 6 ↔ a = b = c = 1`

`……………………………………………………………………………………………`

Do `a,b,c >= 0 ; a +b + c = 3 -> 0 <= a,b,c <= 3`

CM BĐT phụ sau `\sqrt{3x + 1} ≥ [(\sqrt{10} – 1)x]/3 + 1 (∀ 0 <= x <= 3)(1)`

`(1) ↔ (\sqrt{3x + 1} – 1) – [(\sqrt{10} – 1)x]/3 >= 0`

`↔ (3x+  1 – 1)/(\sqrt{3x + 1} + 1)  – [(\sqrt{10} – 1)x]/3 >= 0`

`↔ x(3/(\sqrt{3x + 1} + 1) – (\sqrt{10} – 1)/3) ≥ 0`

`↔ [x(9 – (\sqrt{3x + 1} + 1)(\sqrt{10} – 1))]/[3(\sqrt{3x +1} + 1)] >= 0`

`↔ 9 – (\sqrt{3x + 1} + 1)(\sqrt{10} – 1) ≥ 0`

Có : `x <= 3 -> (\sqrt{3x + 1} + 1)(\sqrt{10} – 1)`

`≤ (\sqrt{3.3 + 1} + 1)(\sqrt{10} – 1) = (\sqrt{10} + 1)(\sqrt{10} – 1) = 10 – 1 = 9`

`-> 9 – (\sqrt{3x+  1} + 1)(\sqrt{10} – 1) >= 0` . vậy BĐT đã được chứng minh

Áp dụng BĐT phụ

`-> K ≥ [(\sqrt{10} – 1)(a + b + c)]/3 + 3 = [(\sqrt{10} – 1).3]/3 + 3 `

`= \sqrt{10} – 1 + 3 = 2 + \sqrt{10}`

Dấu “=” `↔(a,b,c)` là hoán vị của `(0;0;3)`

Vậy $K_{Min}$ là `2 + \sqrt{10} ↔ (a,b,c)` là hoán vị của `(0;0;3)`

Giải thích các bước giải: