cho 3 số x,y,x khác 0 thỏa mãn điều kiện :
$\frac{y+z-x}{x}$ = $\frac{z+x-y}{y}$ =$\frac{x+y-z}{z}$
hãy tính giá trị biểu thức B= (1+$\frac{x}{y}$ )( 1+$\frac{y}{z}$ )(1+$\frac{z}{x}$ )
cho 3 số x,y,x khác 0 thỏa mãn điều kiện :
$\frac{y+z-x}{x}$ = $\frac{z+x-y}{y}$ =$\frac{x+y-z}{z}$
hãy tính giá trị biểu thức B= (1+$\frac{x}{y}$ )( 1+$\frac{y}{z}$ )(1+$\frac{z}{x}$ )
Đáp án:
\(\begin{array}{l}
P = -1\quad khi \quad x + y +z =0\\
P = 8 \quad\,\,\,\, khi\quad x +y + z \ne 0
\end{array}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad P = \left(1 + \dfrac xy\right)\left(1 + \dfrac yz\right)\left(1 + \dfrac zx\right)\\
\Rightarrow P = \dfrac{x+y}{y}\cdot \dfrac{y+z}{z}\cdot \dfrac{z+x}{x}\\
+)\quad TH1: x+y+ z =0\\
\Rightarrow \begin{cases}x + y = -z\\
y + z =- x\\
z + x =-y\end{cases}\\
\Rightarrow P = \dfrac{-z}{y}\cdot\dfrac{-x}{z}\cdot \dfrac{-y}{x}\\
\Rightarrow P = -1\\
+)\quad TH2: x +y + z \ne 0\\
\text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:}\\
\quad \dfrac{y+z-x}{x} = \dfrac{z+x-y}{y} = \dfrac{x+y-z}{z} = \dfrac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z}=1\\
\Rightarrow \begin{cases}y +z – x = x\\z+x-y = y\\x+y-z=z\end{cases}\\
\Rightarrow \begin{cases}y+z = 2x\\z+x – 2y\\x+y=2z\end{cases}\\
\Rightarrow P = \dfrac{2z}{y}\cdot\dfrac{2x}{z}\cdot\dfrac{2y}{x}\\
\Rightarrow P = 8
\end{array}\)
TH$1$
$x+y+z = 0$
$\to x + y= -z ; y+ z = -x ; x+z = -y$
$\to B = ( 1 + \dfrac{x}{y} ) *( 1+ \dfrac{y}{x}) * ( 1 + \dfrac{z}{x} ) = \dfrac{x+y}{y} * \dfrac{y+z}{z} + \dfrac{x+z}{x}$
$ = – \dfrac{xyz}{xyz} = -1$
TH$2$
$x+y+z \ne 0$
$\dfrac{y+z-x}{x} = \dfrac{z+x-y}{y} = \dfrac{x+y-z}{z}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{y+z-x}{x} = \dfrac{z+x-y}{y} = \dfrac{x+y-z}{z} = \dfrac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z} $
$= \dfrac{x+y+z}{x+y+z} = 1$
Vì :
$ \dfrac{y+z-x}{x} =1 \to y + z – x = x \to y + z = 2x$
$ \dfrac{z+x-y}{y} = 1 \to z + x – y = y \to x + z = 2y$
$ \dfrac{x+y-z}{z} = 1 \to x+y-z = z \to x+y = 2z$
$ B = ( 1 + \dfrac{x}{y} ) *( 1+ \dfrac{y}{x}) * ( 1 + \dfrac{z}{x} ) = \dfrac{x+y}{y} * \dfrac{y+z}{z} + \dfrac{x+z}{x} $
$ = \dfrac{2z}{y} * \dfrac{2x}{z} * \dfrac{2y}{x} = 2*2*2 = 8$
Kết luận :
+) Với $ x + y +z= 0$ thì $ P = -1$
+) Với $ x + y +z \ne 0$ thì $ P = 8$