Cho 4x + 2y + 2z – 4√xy – 4√xz + 2√yz – 10√z – 6√y + 34 = 0 với x, y, z > 0. Tính giá trị của biểu thức M = (x – 15)^9 + (y – 8)^6 + (z – 24)^2018

0 bình luận về “Cho 4x + 2y + 2z – 4√xy – 4√xz + 2√yz – 10√z – 6√y + 34 = 0 với x, y, z > 0. Tính giá trị của biểu thức M = (x – 15)^9 + (y – 8)^6 + (z – 24)^2018”

1. Ta có

   $4x + 2y + 2z – 4\sqrt{xy} + 2\sqrt{yz} – 4\sqrt{zx} – 10\sqrt{z} – 6\sqrt{y} + 34 = 0$

   $<-> [(2\sqrt{x})^2 + \sqrt{y}^2 + \sqrt{z}^2 – 4\sqrt{xy} + 2\sqrt{yz} – 4\sqrt{zx}] + (y – 6\sqrt{y} + 9) + (z – 10\sqrt{z} + 25) = 0$

   $<-> (2\sqrt{x} – \sqrt{y} – \sqrt{z})^2 + (\sqrt{y} – 3)^2 + (\sqrt{z} – 5)^2 = 0$

   Ta có

   $(2\sqrt{x} – \sqrt{y} – \sqrt{z})^2 \geq 0$,

   $(\sqrt{y} – 3)^2 \geq 0$

   $(\sqrt{z} – 5)^2 \geq 0$

   Cộng vế theo vế ta có

   $VT \geq 0$ với mọi $x, y, z > 0$

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

   $\begin{cases} 2\sqrt{x} – \sqrt{y} – \sqrt{z} = 0\\ \sqrt{y} – 3 = 0\\ \sqrt{z} – 5 = 0 \end{cases}$

   Suy ra $x =16 , y = 9, z = 25$

   Vậy

   $M = (x-15)^9 + (y-8)^6 + (z-24)^{2018}$

   $= (16 – 15)^9 + (9-8)^6 + (25 – 24)^{2018}$

   $= 1 + 1 + 1 = 3$

   Vậy $M = 3$.

   Bình luận