Cho 9 số nguyên dương khác nhau mà mỗi số chỉ có ước nguyên tố là 2; 3 và 7. Chứng minh tồn tại 2 số có tích là số chính phương.

0 bình luận về “Cho 9 số nguyên dương khác nhau mà mỗi số chỉ có ước nguyên tố là 2; 3 và 7. Chứng minh tồn tại 2 số có tích là số chính phương.”

1. Do các số chỉ có ước nguyên tố là 2.3.7 nên các số có dạng:

   $x_i$ = $2^{a_i}$ + $3^{b_i}$ + $7^{c_i}$ ( $i= 1, 2, 3,…,9$) Khi lấy số dư của ${a_i},{b_i},{c_i}$ chia cho $2$, có thể xảy ra $8$ trường hợp sau:

   $0 0 0$

   $0 0 1$

   $0 1 0$

   $0 1 1$

   $1 0 0$

   $1 0 1$

   $1 1 0$

   $1 1 1$

   Mà có 9 số nên tồn tại hai số $x_i$ và $x_j$ sao cho $a_i$ $=$ $a_j$$(mod2)$,$b_i$ $=$ $b_j$$(mod2)$,$c_i$ $=$ $c_j$$(mod2)$

   ⇒ $a_i$ + $a_j$ $;$ $b_i$ + $b_j$ $;$ $c_i$ + $c_j$ đều là các số chẵn ⇒$x_i$ . $x_j$ $=$ $2^{a_i + a_j}$ .$3^{b_i + b_j}$ .$7^{c_i + c_j}$ là số chính phương

   Bình luận