Cho `A(1;1)` ; `B(2;-1)` ; `C ( 0;-3)` Tìm `M` thuộc `d = y- 1` sao cho `|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|` nhỏ nhất .

Đáp án: $M(-\dfrac12, \dfrac12)$

Giải thích các bước giải:

Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to G(\dfrac{1+2+0}{3},\dfrac{1-1-3}{3})\to G(1,-1)$

$\to\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG}$

Vì $M\in (D): x=y-1\to M(a,a+1)$

$\to \vec{MG}=(1-a, -1-(a+1))\to\vec{MG}=(1-a, -2-a)$

$\to |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=|3\vec{MG}|$

$\to |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=3MG$

$\to |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=3\sqrt{(1-a)^2+(-2-a)^2}$

$\to |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=3\sqrt{2a^2+2a+5}$

$\to |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|=3\sqrt{2\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{2}}$

$\to |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|\ge 3\sqrt{2\cdot 0+\dfrac{9}{2}}$

$\to |\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|\ge \dfrac{9}{\sqrt{2}}$

Dấu = xảy ra khi $a+\dfrac12=0\to a=-\dfrac12\to M(-\dfrac12, \dfrac12)$