cho A=(x-1/x^2+1). tìm x thuộc R để A nguyên

Đáp án: $ x\in\{0,-1,1\}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$A=\dfrac{x-1}{x^2+1}$

$\to A(x^2+1)=x-1$

$\to Ax^2+A=x-1$
$\to Ax^2-x+A+1=0(*)$

Nếu $A=0\to \dfrac{x-1}{x^2+1}=0\to x-1=0\to x=1$

Nếu $A\ne 0$

$\to (*)$ là phương trình bậc $2$

Do $A=\dfrac{x-1}{x^2+1}\to$Với mỗi giá trị $x$ có $1$ giá trị của $A$

$\to (*)$ có nghiệm

$\to \Delta\ge 0$

$\to (-1)^2-4A(A+1)\ge 0$

$\to 4A(A+1)\le 1$

$\to 4A^2+4A+1\le 2$

$\to (2A+1)^2\le 2$

Vì $A\in Z\to (2A+1)^2$ là số chính phương lẻ

$\to (2A+1)^2=1$

$\to 2A+1=1\to A=0$(loại )

Hoặc $2A+1=-1\to A=-1$

$\to \dfrac{x-1}{x^2+1}=-1$

$\to -x^2-1=x-1$

$\to x^2+x=0$

$\to x(x+1)=0$

$\to x\in\{0,-1\}$

Kết hợp cả $2$ trường hợp $\to x\in\{0,-1,1\}$