cho A (2,1) B (5,-3) a) tìm M thuộc Oy sao cho tam giác ABC vuông tại A b) tìm N sao cho tam giác NAB đều

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a. Giả sử M(0;y)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = (3; – 4)\\
\overrightarrow {AM}  = ( – 2;y – 1)
\end{array}\)

Do ΔABC vuông tại A

\(\begin{array}{l}
 \to \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = 0 \to  – 6 – 4y + 4 = 0 \to y = \frac{{ – 1}}{2}\\
 \to M(0;\frac{{ – 1}}{2})
\end{array}\)

b. Gs N(a;b)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN}  = (a – 2;b – 1) \to A{N^2} = {a^2} – 4a + 4 + {b^2} – 2b + 1\\
A{B^2} = 25
\end{array}\)

Do ΔNAB đều

\( \to A{N^2} = A{B^2} \to {a^2} – 4a + 4 + {b^2} – 2b + 1 = 25 \to {a^2} – 4a + {b^2} – 2b = 20\)

Gọi H là trung điểm AB⇒NH là đồng thời là đường cao⇒NH⊥AB

⇒H(7/2;-1)

\(\begin{array}{l}
 \to \overrightarrow {NH}  = (\frac{7}{2} – a; – 1 – b)\\
 \to \overrightarrow {NH} .\overrightarrow {AB}  = 0 \to \frac{{21}}{2} – 3a + 4 + 4b = 0 \to b = \frac{{3a – \frac{{29}}{2}}}{4} = \frac{{6a – 29}}{8}\\
(1) \to {a^2} – 4a + \frac{{36{a^2} – 348a + 841}}{{64}} – \frac{{6a – 29}}{4} = 20\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{2} \to b = \frac{{ – 2 + 3\sqrt 3 }}{2}\\
a = \frac{{7 – 4\sqrt 3 }}{2} \to b =  – \frac{{2 + 3\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
N(\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{2};\frac{{ – 2 + 3\sqrt 3 }}{2})\\
N(\frac{{7 – 4\sqrt 3 }}{2}; – \frac{{2 + 3\sqrt 3 }}{2})
\end{array} \right.
\end{array}\)