Cho A=2+2^2+….+2^180
a. tính a,b, cho A chia hết cho 3,7,15
b. Tìm số tận cùng của A
c. Tìm n biết A=2^n-2 (n thuộc N)
Cho A=2+2^2+….+2^180
a. tính a,b, cho A chia hết cho 3,7,15
b. Tìm số tận cùng của A
c. Tìm n biết A=2^n-2 (n thuộc N)
Đáp án:
a, Ta có :
`A = 2 + 2^2 + …. + 2^{180}`
` = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + … + (2^{179} + 2^{180})`
` = (2 + 2^2) + 2^2.(2 + 2^2) + …. + 2^{178}.(2 + 2^2)`
` = 6 + 2^2 .6 + …. + 2^{178} .6`
` = 6.(1 + 2^2 + …. + 2^{178})` chia hết cho 6
`A = 2 + 2^2 + …. + 2^{180}`
` = (2 + 2^2 + 2^3) + (2^4 + 2^5 + 2^6) + …. + (2^{178} + 2^{179} + 2^{180})`
` = 2(1 + 2 + 2^2) + 2^4.(1 + 2 + 2^2) + …. + 2^{178}.(1 + 2 + 2^2)`
` = 2.7 + 2^4.7 + ….. + 2^{178} . 7`
` = 7.(2 + 2^4 + …. + 2^{178})` chia hết cho 7
`A = 2 + 2^2 + …. + 2^{180}`
` = (2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8) + …. + (2^{177} + 2^{178} + 2^{179} + 2^{180})`
` = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + 2^5.(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + … + 2^{177}.(1 + 2 + 2^2 + 2^3)`
` = 2.15 + 2^5.15 + …. + 2^{177}.15`
` = 15.(2 + 2^5 + …. + 2^{177})` chia hết cho 15
b. Ta có :
`A = 2 + 2^2 + …. + 2^{180} (1)`
`=> 2A = 2^2 + 2^3 + …. + 2^{181} (2)`
Lấy (2) – (1) ta được
`A = 2^{181} – 2`
` = 2.(2^{180} – 1)`
` = 2.[(2^4)^{45} – 1]`
` = 2.(16^{45} – 1)`
` = 2.[(….6) – 1]`
` = 2 . (….5)`
` = (….0)`
Vậy A có tận cùng là `0`
c, Ta có :
`2^n – 2 = A`
` <=> 2^n – 2 = 2^{181} – 2`
` <=> 2^n = 2^{181}`
` <=> n = 181`
Giải thích các bước giải: