Cho a^2+b^2+c^2=1.Chứng minh abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0 21/11/2021 Bởi Quinn Cho a^2+b^2+c^2=1.Chứng minh abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0
Đáp án: Giải thích các bước giải: Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P Do $a^2+b^2+c^2=1 ⇒-1 \leq a;b;c \leq 1$ $⇒(a+1)(b+1)(c+1) \geq 0$ $⇔abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geq 0$ $⇒abc\geq -(ab+bc+ca+a+b+c+1)$ $⇒P \geq -(ab+bc+ca+a+b+c+1)+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)$ $⇒P \geq ab+bc+ca+a+b+c+1$ $⇒P \geq ab+bc+ca+a+b+c+\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{2}$ $⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2+a+b+c+\dfrac{1}{2}$ $⇒P\geq \dfrac{1}{2}(a+b+c+1)^2 \geq 0$ (đpcm) Dấu “=” xảy ra khi $(a;b;c)=(0;0;-1)$ và các hoán vị Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Do $a^2+b^2+c^2=1 ⇒-1 \leq a;b;c \leq 1$
$⇒(a+1)(b+1)(c+1) \geq 0$
$⇔abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geq 0$
$⇒abc\geq -(ab+bc+ca+a+b+c+1)$
$⇒P \geq -(ab+bc+ca+a+b+c+1)+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)$
$⇒P \geq ab+bc+ca+a+b+c+1$
$⇒P \geq ab+bc+ca+a+b+c+\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{2}$
$⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2+a+b+c+\dfrac{1}{2}$
$⇒P\geq \dfrac{1}{2}(a+b+c+1)^2 \geq 0$ (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi $(a;b;c)=(0;0;-1)$ và các hoán vị