Cho a^2+b^2+c^2=1.Chứng minh abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0

Cho a^2+b^2+c^2=1.Chứng minh abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0

0 bình luận về “Cho a^2+b^2+c^2=1.Chứng minh abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

    Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

     Do $a^2+b^2+c^2=1 ⇒-1 \leq a;b;c \leq 1$

    $⇒(a+1)(b+1)(c+1) \geq 0$

    $⇔abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geq 0$

    $⇒abc\geq -(ab+bc+ca+a+b+c+1)$

    $⇒P \geq -(ab+bc+ca+a+b+c+1)+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)$

    $⇒P \geq ab+bc+ca+a+b+c+1$

    $⇒P \geq ab+bc+ca+a+b+c+\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{2}$

    $⇒P \geq \dfrac{1}{2}(a+b+c)^2+a+b+c+\dfrac{1}{2}$

    $⇒P\geq \dfrac{1}{2}(a+b+c+1)^2 \geq 0$ (đpcm)

    Dấu “=” xảy ra khi $(a;b;c)=(0;0;-1)$ và các hoán vị

    Bình luận

Viết một bình luận