Cho a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
Chứng minh rằng : a=b=c
Mn giúp mk với nha
0 bình luận về “Cho a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
Chứng minh rằng : a=b=c
Mn giúp mk với nha”
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}
{\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} – 2ab + {b^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab
\end{array}\]
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
\[{\left( {a – b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b\]
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\[\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\
{c^2} + {a^2} \ge 2ca
\end{array}\]
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được
\[\begin{array}{l}
2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca
\end{array}\]
Từ giả thiết suy ra dấu ‘=’ phải xảy ra tức là a=b=c
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}
{\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} – 2ab + {b^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab
\end{array}\]
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
\[{\left( {a – b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b\]
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\[\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\
{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\
{c^2} + {a^2} \ge 2ca
\end{array}\]
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được
\[\begin{array}{l}
2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca
\end{array}\]
Từ giả thiết suy ra dấu ‘=’ phải xảy ra tức là a=b=c