0 bình luận về “Cho `a^2+b^4+1/a^2+1/b^4 =4` tính `P=a+b^3`”
Đáp án :
`P=+-2; P=0`
Giải thích các bước giải :
`+)a^2+b^4+1/a^2+1/b^4=4 (a, b ne 0) (**)` Ta luôn có : `a^2>=0; b^4>=0; 1/a^2>0; 1/b^4>0,` áp dụng Cô-si, ta được : `a^2+b^4+1/a^2+1/b^4=(a^2+1/a^2)+(b^4+1/b^4)>=2\sqrt{a^2.(1)/a^2}+2\sqrt{b^4.(1)/b^4}>=2.1+2.1=4` `=>a^2+b^4+1/a^2+1/b^4>=4` Để xảy ra `(**)` `=>a=b=+-1` `+)P=a+b^3=1+1^3=2` `+)P=a+b^3=-1+(-1)^3=-2` `+)P=a+b^3=-1+1^3=0` `+)P=a+b^3=a+(-1)^3=0` Vậy : `P=+-2; P=0`
Đáp án :
`P=+-2; P=0`
Giải thích các bước giải :
`+)a^2+b^4+1/a^2+1/b^4=4 (a, b ne 0) (**)`
Ta luôn có : `a^2>=0; b^4>=0; 1/a^2>0; 1/b^4>0,` áp dụng Cô-si, ta được :
`a^2+b^4+1/a^2+1/b^4=(a^2+1/a^2)+(b^4+1/b^4)>=2\sqrt{a^2.(1)/a^2}+2\sqrt{b^4.(1)/b^4}>=2.1+2.1=4`
`=>a^2+b^4+1/a^2+1/b^4>=4`
Để xảy ra `(**)`
`=>a=b=+-1`
`+)P=a+b^3=1+1^3=2`
`+)P=a+b^3=-1+(-1)^3=-2`
`+)P=a+b^3=-1+1^3=0`
`+)P=a+b^3=a+(-1)^3=0`
Vậy : `P=+-2; P=0`
ĐK: a,b khác 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm, ta có:
$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\geq2\sqrt[]{a^{2}.\frac{1}{a^{2}}}=2$ (1)
$b^{4}+\frac{1}{b^{4}}\geq2\sqrt[]{b^{4}.\frac{1}{b^{4}}}=2$ (2)
(1) + (2) => $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+b^{4}+\frac{1}{b^{4}}\geq4$
Dấu “=” xảy ra => $a^{2}=\frac{1}{a^{2}}$ và $b^{4}=\frac{1}{b^{4}}$
=> a = 1 hoặc -1, b = 1 hoặc -1
=> P = 1+ (-1)³ hoặc 1 + 1³ hoặc (-1) + 1³ hoặc (-1) + (-1)³
=> P = 0 hoặc ±2