Cho A(3;-2;4) B (-1;4;-4) Tìm E thuộc mp (Oyz) sao cho tam giác AEB cân tại E và có diện tích là 3√29 Ai biết giúp em với ạ, thanks a lottttttt

Giải thích các bước giải:

 E nằm trong mp (Oyz) nên \(E\left( {0;a;b} \right)\)

Gọi I là trung điểm AB thì \(I\left( {1;1;0} \right)\)

Ta có:

\(\overrightarrow {IE} \left( { – 1;a – 1;b} \right) \Rightarrow IE = \sqrt {1 + {{\left( {a – 1} \right)}^2} + {b^2}} \)

\(\overrightarrow {AB} \left( { – 4;6; – 8} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {29} \)

Tam giác EAB cân ở E nên \(EI \bot AB\) và diện tích bằng \(3\sqrt {29} \) nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {EI} .\overrightarrow {AB}  = 0\\
\frac{1}{2}EI.AB = 3\sqrt {29} 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( { – 1} \right).\left( { – 4} \right) + \left( {a – 1} \right).6 + b.\left( { – 8} \right) = 0\\
\frac{1}{2}.\sqrt {1 + {{\left( {a – 1} \right)}^2} + {b^2}} .2\sqrt {29}  = 3\sqrt {29} 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 + 6a – 6 – 8b = 0\\
1 + {\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} = 9
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = \frac{{3a – 1}}{4}\\
{\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = \frac{{3a – 1}}{4}\\
{\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{3a – 1}}{4}} \right)^2} = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = \frac{{3a – 1}}{4}\\
{a^2} – 2a + 1 + \frac{9}{{16}}{a^2} – \frac{3}{2}a + \frac{1}{{16}} = 8
\end{array} \right.\\

\end{array}\)